Adhérence d'une réunion

Bonjour à tous,

Dans un corrigé d'exercice (très peu détaillé c'est bien le souci...), le correcteur démontre que l'adhérence d'une réunion c'est la réunion des adhérences en passant au complémentaire une première expression démontrée dans la question d'avant qui est que l'intersection de deux intérieurs c'est l'intérieur de l'intersection.
Tentant de reproduire la démonstration, voilà ce que j'arrive à faire :

$(A\cap{B})^°=A^°\cap{B^°}$
commentaire = point de départ de la question de l'exercice qui me pose problème, à partir de cela il faut démontrer que l'adhérence d'une réunion c'est la réunion des adhérences par passage au complémentaire

$(A\cap{B})^°)^c=(A^°\cap{B^°})^c$
commentaire : je passe l'égalité au complémentaire

$\overline{(A\cap{B})^c}=(A^°)^c\cup{(B^°)^c}=\overline{A^c}\cup{\overline{B^c}}$
commentaire : j'utilise le fait que le complémentaire d'un intérieur c'est l'adhérence du complémentaire, dans le membre de droite le fait que le complémentaire d'une intersection c'est la réunion des complémentaires, puis en dernier lieu à nouveau que le complémentaire d'un intérieur c'est l'adhérence du complémentaire

$\overline{A^c\cup{B^c}}=\overline{A^c}\cup{\overline{B^c}}$

Le problème étant que même si l'expression ressemble, il me reste des complémentaires...