norme
Bonjour,
je suis bloqué je n'arrive pas à montrer que ces normes sont égales "équivalentes":
|| F|| = sup || F(x) || /||x|| avec x different de 0
= sup || F(x) || avec ||x|| <= 1
=sup || F(x) || avec ||x|| =1
avec F appartient à l'espace des applications continues de E dans F (E et F deux espaces normés).
je suis bloqué je n'arrive pas à montrer que ces normes sont égales "équivalentes":
|| F|| = sup || F(x) || /||x|| avec x different de 0
= sup || F(x) || avec ||x|| <= 1
=sup || F(x) || avec ||x|| =1
avec F appartient à l'espace des applications continues de E dans F (E et F deux espaces normés).
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Réponses
La linéarité fournit :
\[\frac{\lVert f(x) \rVert}{\lVert x \rVert} = \left \lVert f \left( \frac{x}{\lVert x \rVert} \right) \right \rVert.\]
Cette relation permet de comparer les expressions 1 et 3 à l'expression intermédiaire.
Tu poses, en supposant que ces expressions aient un sens :
$||F||_1 = \underset{x\in E, x\neq 0}{sup} \dfrac{||F(x)||}{||x||}$
$||F||_2 = \underset{x\in E, x\neq 0, ||x||\leq 1}{sup} ||F(x)||$
$||F||_3 = \underset{x\in E, ||x||= 1}{sup} ||F(x)||$
Il est d'abord clair que $||F||_3 \leq ||F||_2$
Pour tout $x\in E$ tel que $x\neq 0$ $||F(x)||_E \leq ||F||_1.||x||$, relation qui est encore vraie si $x=0$.
D'où pour tout $x \in E$ tel que $||x|| \leq 1, ||F(x)|| \leq ||F||_1$. En passant au sup, il vient que $||F||_2 \leq ||F||_1$
Montrons enfin que $||F||_1 \leq ||F||_3$. On suppose $||F||_1 \neq 0$.
Alors par définition de $||F||_1$ : $\forall \varepsilon >0, \exists x \in E-\{0\}$ tel que $||F(x/||x||)|| = \dfrac{||F(x)||}{||x||}\geq ||F||_1 - \varepsilon$
Or $y=x/||x||$ est de norme 1 donc $||F(y)|| \leq ||F||_3$ et donc $||F||_3 \leq ||F||_1 - \varepsilon$
Ceci étant vrai pour tout $\varepsilon > 0$ on a $||F||_3 \geq ||F||_1$
Finalement $||F||_1 = ||F||_2 = ||F||_3$