Normabilité de la topologie de Schwartz

Bonjour
Il me semble que l'idée de la preuve est d'utiliser le fait que la topologie est métrisable (c'est lié au caractère dénombrable des semi-normes qui définissent la topologie) (edit : et complet pour la métrique). Ensuite, il faut montrer que les parties bornées sont relativement compacts (c'est pas trivial et ça doit reposer sur le théorème d'Ascoli et le théorème des accroissements finis pour montrer l'équicontinuité...).

Rem: une partie bornée au sens des espaces vectoriels topologiques est une partie absorbée par un voisinage donné de 0 ou encore telle que pour chaque semi-norme, il existe une constante qui majore la semi-norme de n'importe quel élément de la partie)

Ensuite, en raisonnant par l'absurde, si la topologie définissant cet espace était normable, on pourrait en déduire que sa boule unité fermé est bornée et donc compacte d'après le résultat ci-dessus mais d'après le théorème de Riesz c'est impossible en dimension inifinie.

(la partie délicate étant celle ou l'on montre que les parties bornées sont relativement compactes)

Sinon voici une jolie preuve tiré de l'excellent poly MM003 de Jean Saint-Raymond du fait qu'une partie bornée $H$ de $\mathcal{S}(\R^d)$ est relativement compacte (j'ai essayé de détailler certains points qu'il survole).

Soit $\R_{d}^{\bf{.}}=\R^d \cup \{{\infty}\}$ le compacifié d'Alexandrof de $\R^d$.
Soit $\phi : \mathcal{S}(\R^d) \to \prod_{\alpha,k} \mathcal{C}(\R_d^{\bf{.}},\C)$ définie par $f \to (\phi_{\alpha,k})_{\alpha,k}$ et avec
$\forall \alpha \in \N^d, \forall k \in \N\,,\phi_{\alpha,k}(f)(x) = (1+\|x\|)^k\partial_{\alpha}f(x)$ si $x\in \R^d$ et $\phi_{\alpha,k}(f)(\infty) = 0 $

Alors chaque fonction coordonnée $\phi_{\alpha,k}$ est continue donc $\phi$ est continue. De plus, $\phi$ est clairement une bijection sur son image. L'application inverse $\phi^{-1}$ et aussi clairement continue car si pour $u_n=\phi(f_n) \to u=\phi(f) \in \phi(\mathcal{S})$ alors $\lim_n \phi^{-1}(u_n)=\phi^{-1}(u)=f$.
Ainsi $\phi$ est un homéomorphisme de $\mathcal{S}$ sur $\phi(\mathcal{S})$.

Soit $x \in \R^d$ et $y$ dans un voisinage de $x$, et pour tout $f \in H$ il résulte du théorème de accroissements finis appliqué entre $x$ et $y$ que
$|\phi_{\alpha,k}(f)(x)-\phi_{\alpha,k}(f)(y)| \leq \sum_{1\leq j \leq d}|x_j-y_j|sup_z \partial_j |\phi_{\alpha,k}(f)(z)|$
d'où par l'inégalité de Cauchy-Schwarz que
$|\phi_{\alpha,k}(f)(x)-\phi_{\alpha,k}(f)(y)| \leq \|x-y\| (\sum_j (sup_z |\phi_{\alpha+\tau_j,k}(f)(z)|^2)^{\frac{1}{2}}$
où $\tau_j$ désigne l'élément de $\N^d$ dont les coordonnées sont toutes nulles sauf sa $j$-ieme qui vaut 1.
Cette inégalité donne le caractère équicontinue de $\phi_{\alpha,k}(H)$ en chaque point $x \in \R^d$ et pour chaque $\alpha$ et chaque $k$.

Pour $x=\infty$ et $y$ appartenant à un voisinage de $x$, on a
$\displaystyle |\phi_{\alpha,k}(f)(\infty)-\phi_{\alpha,k}(f)(y)|=|\phi_{\alpha,k}(f)(y)|\leq \frac{(1+\|y\|)(1+\|y\|)^k\partial_{\alpha}f(y)}{(1+\|y\|)}\leq \frac{\sup_{y \in\R^d} (1+\|y\|)^{k+1}\partial_{\alpha}f(y)}{(1+\|y\|)} = \frac{p_{\alpha,k+1}}{(1+\|y\|)}$
Ainsi pour $\|y\|$ suffisamment grand on obtient que $\phi_{\alpha,k}(H)$ est équicontinue en $x =\infty$.


Au final, pour chaque $\alpha$ et $k$ fixés, la partie $\phi_{\alpha,k}(H)$ est équicontinue en tout point du compact $\R_d^{\bf{.}}$.
De plus, comme $\phi_{\alpha,k}(H)$ est uniformément bornée (vu le caractère borné de $H$), par le théorème d'Ascoli, $\phi_{\alpha,k}(H)$ est une partie relativement compact de $\mathcal{C}(\R_d^{\bf{.}},\C)$

Comme un produit d'espaces relativement compacts est relativement compact (Tychonoff), $\phi(H)=\prod_{\alpha,k} \phi_{\alpha,k}(H)$ est relativement compacte dans $\prod_{\alpha,k} \mathcal{C}(\R_d^{\bf{.}},\C)$. Ainsi $\overline{\phi(H)}$ est compacte dans $\overline{\phi(\mathcal{S})}=\phi(\mathcal{S})$ et $H$ finalement est relativement compact car contenu dans le compact
$\phi^{-1}(\overline{\phi(H)})$ (image d'un compact par une application continue vers un espace séparé).

Sans doute que la méthode que tu donnes est plus directe (j'ai trouvé ça joli de "forcer" l'utilisation d'Ascoli via la compacification).

Donc si je comprends bien avec ce résultat, il suffit d'exhiber une suite $(f_n)$ telle que $ \forall \alpha \in \N^*,\ \dfrac{p_{\alpha,k}(f_n)}{p_{0,k}(f_n)}$ ne soit pas borné. J'ai l'impression qu'on pourrait prendre $ f_n: x\to e^{-nx^2}$ ?

Bonjour

Je me suis intéressé à cette ancienne discussion sur la normabilité de la topologie de Schwartz :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1198299

Il y a plusieurs propositions intéressantes de démonstration mais j'aimerais savoir si on peut démontrer la non-normabilité directement d'après le fait que les boules ouvertes de centre 0 et de rayon e/(n+1) forment un système fondamental de voisinages ouverts de 0 (comme suggéré par Algèbre dans le message initial).

Deuxième question : quid du cas m1=m2=...=0 dans la définition des semi-normes ? Dans ce cas particulier, la semi-norme n'est elle pas une norme ? (je me doute que non puisque l'espace de Schwartz n'est pas normable, mais je ne comprends pas mon erreur de raisonnement)

Merci pour toute réponse et bonne journée !

Alex

Merci pour cette réponse !

En effet, je pense que l'incohérence se situe dans ma formulation : ce ne serait donc pas l'espace de Schwartz qui n'est pas normable, mais la topologie de Schwartz engendrée par les pseudo-normes.

J'espère que nous aurons une réponse pour ma question principale.