Suite de Cauchy et complétude

gustav · August 2015

Bonjour... J'ai une question qui m'a cassé la tète.
Quand on parle des suites de Cauchy on parle de la complétude... Pourquoi une suite de Cauchy et pas une autre suite ou un autre critère ?
Quel est l'avantage des suites de Cauchy ? etc.
Merci.

L2_maths · August 2015

Par définition, un espace métrique $(E,d)$ est complet si toute suite de Cauchy de $(E,d)$ est convergente. Lorsqu'on parle de complétude, on regarde donc souvent les suites de Cauchy simplement parce que c'est la définition.

L'un des intérêts d'une suite de Cauchy est que si tu te trouves sur un espace complet, tu peux montrer qu'elle converge sans a priori connaître sa limite.

Bruno · August 2015

Il y a quelque chose de plus : si une suite converge, elle est de Cauchy ! Le seul problème est donc celui de la réciproque.

Bruno

bisam · August 2015

Les suites de Cauchy formalisent des suites dont les termes "se rapprochent globalement les uns des autres". On aimerait pouvoir dire que ces suites convergent, c'est-à-dire que les termes "se rapprochent globalement d'une valeur précise"... mais on ne peut le faire que si l'espace est complet.