Notions & notations ambiguës en stats/probas

Bonjour
Je me remets aux stats & probas et il me semble voir beaucoup d'amalgames/confusions.
Les notations sont nombreuses et parfois interchangées (à tort ?).
L'utilisation du terme "variance" entre statistiques et probabilités me semble ambigu.

1) Espérance & Moyenne
Pour l'espérance en probabilités et la moyenne (arithmétique) en statistiques, je vois souvent l'amalgame mais si je ne me trompe pas :

Moyenne (angl = "average") : On a une population, ou un échantillon (angl = "sample"), qui peuvent très bien être le résultat d'un certain nombre de réalisations/tirages d'une expérience aléatoire. La moyenne est la somme des valeurs relevées/mesurées pondérées par leurs effectifs divisé par le nombre total de valeurs. Pour une variable aléatoire $X$, sa moyenne est notée $\overline{X}$ ou $\mu_X$ ou $\mu$ (et en français on a même $m_X$ ou $m$ ou $moy(X)$).

Espérance (angl = "expected value", "mean") : On a une expérience aléatoire avec des issues plus ou moins probables. L'espérance est la somme des valeurs des issues pondérées par leurs probabilités. L'espérance peut être vue comme la moyenne qu'on peut espérer/attendre obtenir sur un "grand" nombre de réalisations. Plus précisément, la moyenne tend vers l'espérance quand le nombre de valeurs prises en compte tend vers l'infini. Pour une variable aléatoire $X$, son espérance est notée $E(X)$ (et en anglais aussi $mean(X)$).

J'ai vu des gens qui interchangent $E(X)$ et $\overline{X}$ mais pour moi c'est une double erreur car cela mélange deux théories qui bien que liées restent distinctes et de plus les valeurs sont a priori différentes.

2) Variance & ... variance ???
Là j'ai l'impression qu'il y a un problème (en français comme en anglais d'ailleurs). C'est le même mot qui est utilisé en probabilités et en statistiques, pourtant il me semble que ce n'est pas la même chose !

En statistiques : La variance est la moyenne des carrés des écarts des valeurs relevées/mesurées par rapport à la moyenne calculée à partir de ces mêmes valeurs.

En probabilités : La variance est la moyenne des carrés des écarts des valeurs des issues par rapport à l'espérance. Il me semble que la variance statistique devrait converger vers la variance probabiliste quand le nombre de valeurs prises en compte tend vers l'infini.

On rencontre les notations suivantes : $V(X)$, $var(X)$, $\sigma²(X)$, ${\sigma_X}^2$, ${\sigma}^2$, ${s_X}^2$.
Pour l'écart-type, on utilise souvent la variance (avec l'exposant en moins).

3) En statistiques inférentielles
Là on s'amuse, car en plus de ce qui précède, il faut encore savoir si ça concerne un échantillon ou la population !

Selon qu'on parle d'un échantillon ou de la population, certaines notations semblent préférées :

• $\mu$ pour la population et $\overline{X}$ pour l'échantillon
• ${\sigma}$ pour la population et ${s_X}$ pour l'échantillon

Mais il n'y a pas l'air d'avoir de règle absolue et ça dépend de qui écrit...

En français, on rajoute parfois un indice $e$ quand c'est pour l'échantillon (s'il n'y en a qu'un), ça fait donc $\mu_e$ ou $m_e$. En anglais, ils pourraient mettre un $s$ mais je n'ai pas l'impression que ça se fasse beaucoup.

Quand il s'agit d'une estimation (ponctuelle), certains mettent un chapeau (e.g. $\hat{\sigma}$) mais là encore ça dépend de l'auteur.

Exemple de "traduction" un peu laborieuse vu en statistiques inférentielles :
$E(\overline{X}) = \mu$

L'espérance de la moyenne arithmétique calculée sur l'échantillon est la moyenne arithmétique dans la population. Autrement dit si on prend un échantillon, qu'on calcule la moyenne dedans, et qu'on repète l'opération un "grand" nombre de fois, la moyenne des moyennes tend vers la moyenne de la population. C'est bien ça ?


CONCLUSION
Il y a matière à confusion. En réfléchissant, on peut déchiffrer mais si je devais donner des cours dans le supérieur, je ne suis pas sûr que je serais clair.
Pourriez-vous m'apporter des corrections et/ou des éclaircissements ?
Ou encore la référence d'un bon ouvrage/lexique ?

Merci de votre attention.