2 questions "basiques" de calcul stochastique
Bonjour,
J'ai $2$ questions en calcul stochastiques pour lesquelles je ne trouve pas de réponse/ne comprends pas la réponse.
1) $\{W_t, t \leq 0\}$ mouvement brownien réel, $W_0 = 0$ et $\tau = \inf{\{t \geq 0 ; |W_t| = 1\}}$.
Calculer $\mathbb{E}\left(\displaystyle\int_{0}^{\tau}{W_s^2 ds} \right)$.
Je sais faire le calcul avec $t$ déterministe en utilisant l'isométrie d'Itô, mais je ne vois pas comment faire le calcul avec une borne stochastique.
2) Soit $U_t = 2 + t^2 + \sin{B_t}$ un processus d'Itô. Je ne comprends pas pourquoi :
$$d\langle U \rangle_t = \cos^2{B_t}dt$$
J'aurais eu tendance à dire que c'était $d\langle U \rangle_t = \sin^2{B_t}dt$
Si vous avez des idées, je serai ravi de les lire.
J'ai $2$ questions en calcul stochastiques pour lesquelles je ne trouve pas de réponse/ne comprends pas la réponse.
1) $\{W_t, t \leq 0\}$ mouvement brownien réel, $W_0 = 0$ et $\tau = \inf{\{t \geq 0 ; |W_t| = 1\}}$.
Calculer $\mathbb{E}\left(\displaystyle\int_{0}^{\tau}{W_s^2 ds} \right)$.
Je sais faire le calcul avec $t$ déterministe en utilisant l'isométrie d'Itô, mais je ne vois pas comment faire le calcul avec une borne stochastique.
2) Soit $U_t = 2 + t^2 + \sin{B_t}$ un processus d'Itô. Je ne comprends pas pourquoi :
$$d\langle U \rangle_t = \cos^2{B_t}dt$$
J'aurais eu tendance à dire que c'était $d\langle U \rangle_t = \sin^2{B_t}dt$
Si vous avez des idées, je serai ravi de les lire.
Réponses
-
Bonjour,
Pour le 1), je te laisse voir un cours de calcul stochastique pour voir que E(int(Ws^2,s=0..thau)) = E(int(Ws^2.1_{thau < s},s=0..+oo)),
Pour le 2), tu as dUt=2dt+sin'(Bt)dBt+(1/2).sin''(Bt)dt d'où d< U >_t=sin'(Bt)dt -
C'est okay pour la 1).
Pour la 2), j'avais répondu comme toi, mais dans la correction du livre, ils disent que $d\langle U \rangle_t = \cos^2{B_t}$ (c'est le livre de Comets si tu le connais). Alors je ne savais pas si c'était moi qui avait fait une faute ou lui... -
relis bien ce que j'ai écrit , [size=large]sin'(Bt)[/size]
-
En fait, c'était le crochet de $U^2$ qu'il fallait calculer. Désolé, je me suis trompé. Mais je ne comprends pas pourquoi il vaut $\cos^2{B_t}$ et non pas $\sin^2{B_t}$.
Et merci au fait, j'avais failli oublier. -
c'est encore dUt=2dt+sin'(Bt)dBt+(1/2).sin''(Bt)dt qui donne d<U^2>_t=sin'(B_t)*sin'(Bt)d<B,B>_t=cos²(Bt)dt
-
Je viens de voir ton message, et je ne comprends pas ton résultat. Pourrais-tu détailler un peu s'il te plait. D'habitude j'ai des quantités linéaires en le brownien, et là ça me perturbe un peu ce $sin$
-
tu as Ut=f(t,Bt) avec f(t,x)=2+t^2+sin(x)
d'où dUt=f_1(t,Bt)dt+f_2(t,Bt)dBt+(1/2).f_22(t,Bt)dt et là d<U>_t=f_2^2(t,Bt)dt avec f_2(t,x)=sin'(x)=cos(x) donc on a bien d<U>t=cos^2(Bt)dt
pourquoi tu parlais de U^2 ? -
D'accord. Effectivement c'est plus simple comme ça. En fait j'essayais d'appliquer Ito directement à $U$ (sans passer par une fonction $f$ qui est fonction d'un brownien), ce qui fait que j'étais bloqué pour calculer son crochet.
Merci pour ton aide et bonne soirée
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres