M.Brownien dans R^3

zeineb · April 2012

Bonjour

Merci d'avance pour toute idée de mon problème.

$ B $ est un M.Brownien sur $ \mathbb{R}^{3} $ issu de $ x\neq 0 $
On a $ |B_{t}|^{2}=|x|^{2}+2\int_{0}^{t}|B_{s}|d\beta_{s} + 3t,\ \beta $ est un MB standard réel issu de $ 0 $
$ |B_{t}|=|x|+\beta_{t}+ \int_{0}^{t}\frac{ds}{|B_{s}|}. $
1) Vérifier à l'aide de la densité gaussienne que la famille $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est bornée dans $ L^{2} $
2) Montrer que $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est une martingale locale, mais n'est pas une vraie martingale.

Yalcin · April 2012

Bonnuitjour,

Je pense que tu devrais écrire tes idées auxquelles on parsèmerait quelques aides,

zeineb · April 2012

Salut.

Je suis arrivé à l'étape suivante :
On a $ B_{t}=x+\sqrt{t}N $ en (loi). Avec $ N\sim \mathcal{N}(0,I_{3}) $
donc $ \mathbb{E}(|B_{t}|^{-2})= \mathbb{E}(|x+\sqrt{t}N|^{-2}) $
à ce point je ne suis pas arrivé à démontrer que $ \sup\limits_{t\in [0,\infty[} \mathbb{E}(|x+\sqrt{t}N|^{-2}) < \infty $

Yalcin · April 2012

Peut-être que l'égalité |B_t|^-1=x^-1-int(|B_s|^-2dbeta_s,s=0..t) peut t'aider pour la second question, pour la première je pense que tu devrais passer par une intégrale via la densité gaussienne.

statquant · May 2012

C'est plus facile que ca, applique juste Ito (ou la version localisee) et tu peux resoudre les deux question en un coup.

Yalcin · May 2012

oui Itô-Doeblin

zeineb · May 2012

Salut statquant et Yalcin.

Veuillez m'expliquer la méthode, et donner la version localisée d'Ito.
Merci d'avance.

[Kiyosi Itô (1915-2008) mérite une majuscule et le respect de son patronyme. AD]

Yalcin · May 2012

2) avec Itô-Doeblin, tu as |B_t|^-1=x^-1-int(|B_s|^-2dbeta_s,s=0..t), donc c'est une martingale locale, mais l'espérance de son crochet n'est pas finie, donc elle n'est pas une vraie martingale.

M.Brownien dans R^3

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