densité brownien

C'est difficile de répondre à cette question. La présentation moderne du mouvement brownien, c'est la mesure de Wiener sur l'espace $C$ des fonctions continues. Donc toute fonction continue est potentiellement une trajectoire, simplement certains sous-ensembles de $C$ sont de probabilité nulle (par exemple la partie formée des fonctions dérivables). Mais chaque trajectoire isolément a une proba nulle donc comment distinguer une "vraie" trajectoire ?

Je pense qu'une bonne solution serait de vérifier que pour une fonction continue $f$ et un réel $\varepsilon > 0$, alors l'évènement $\{ \, |f(t)-B_t| < \varepsilon \, \forall t \, \}$ est de probabilité non nulle (ça a l'air vrai).

Oui, effectivement ; mais ce que je voulais dire c'est qu'en général on prend $\Omega=C(\R_+)$ tout entier donc ton truc est toujours vrai, il suffit de prendre $\omega=f$. Mais bon il doit sûrement y avoir moyen de contourner le problème en prenant un $\Omega$ plus petit qui ne contient que de "vraies" trajectoires.

Si on peut prendre un $\Omega$ "abstrait" et pas un ensemble de trajectoire. Mais je peux toujours rajouter un $\omega$ à ce $\Omega$, de proba nulle of course, et étendre la définition de $B_t$ à $\Omega'=\Omega \cup \{ \omega \}$ en posant $B_t(\omega)=f(t)$. Alors le nouveau processus est une version du MB et $f$ est une des trajectoires.

Salut,

Juste deux questions:
1) J'ai du mal à croire, mais j'ai peut-être (probablement) tort à cette densité. On sait (grâce au log-itéré) que si $W_t$ est un MB standard, alors p.s. $limsup \frac{W_t}{\sqrt{2t log log t}}=1$ et par symétrie $liminf \frac{W_t}{\sqrt{2t log log t}}=-1$.
Cela veut dire que p.s. le MB ne sort pas d'une sorte de "parabole" d'ordre $\sqrt{2t log log t}$ lorsque t tend vers $+\infty$. Or, n'y a-t-il pas "beaucoup" de fonctions de $C(\R,\R)$ qui sortent de cette enveloppe ? (même si cette limite est en $+\infty$).
2) Une façon de démontrer que $P(\forall t \in [0,1], |f(t) - B(t)| > \epsilon) > 0$ aurait été de passer par les lois fini-dimisensionnelles. Mais justement, pour un t donné, la proba pour $B_t$ de s'approcher de la valeur $f(t)$ tend vers $0$ lorsque $\epsilon$ tend vers 0.
Vos remarques à ce sujet? En attendant, je vais jeter un oeil dans le Revuz-Yor pour voir cela.

All

Salut Egoroff,

Euuuhhh à vrai dire y'a pas d'problème. Sorry...

All

Je dis peut-être une bêtise, mais ne pourrait-on pas utiliser le fait que les fonctions continues, nulle part dérivables, sont denses ?