Probabilité lors d'une élection

remy64 · September 2006

Bonjour à tous,

Un ami m'a soumis un problème que je n'arrive pas à résoudre, mais qui pour certains doit sembler enfantin

Lors du deuxième tour d'une élection, (c'est-à-dire s'il faut choisir entre 2 candidats seulement), quelle est la probabilité, que mon vote soit décisif parmi celui de n électeurs ?

Merci de vos réponses.
remy

GERARD · September 2006

Salut Rémy

A mon idée, la question n'a pas de réponse. En effet, il n'y a pas d'épreuve probabilisée en cause. Le vote à une élection n'est pas une question de probabilité, heureusement.

Mais essayons d'en faire une situation probabiliste :
Je suppose que toutes les situations de vote sont équiprobables (Je trouve cette supposition anti réaliste, mais je n'en vois pas d'autre possible). Pour que mon vote soit déterminant, il faut que si je vote pour A il soit élu, et si je vote pour B il soit élu, les autres ne votant pas. Ceci suppose que sans moi, A et B ont le même nombre de voix, donc que n est impair. Je te laisse le calcul de la probabilité que, sur n-1 votes au hasard la répartition soit égalitaire (loi binomiale).

Mais, problème : Je vote pour A. Mon vote a été déterminant, puisque A a eu (n+1)/2 voix. Déterminant, pourquoi ? Les (n-1)/2 autres qui ont voté pour A peuvent en dire autant (Sans leur voix, A était battu).

Conséquence : Mon vote est décisif si mon candidat est élu. Et le fait que A soit élu n'est pas une question de probabilité.

Cordialement

Pilz · September 2006

Une autre proba rigolote concernant les élections il y a toujours 2 candidats, le canditat 1 recueille $a$ voix , le candidat 2 $b$ voix , on a $a >b$ ( ie le candidat 1 a gagné) quel est la probabilité qu'il soit resté en tête tout au long du dépouillement?

Richard André-Jeannin · September 2006

C'est le problème du scrutin, résolu par Désiré André en 1887. La réponse est (a-b)/(a+b), mais la preuve ne semble pas évidente.

Pilz · September 2006

Tout juste personellement je trouve le résultat très joli par sa simplicité, la preuve n'est pas tout à fait immédiate c'est vrai

jean lismonde · September 2006

bonjour

la question de remy64 revient à calculer la probabilité pour que chaque candidat obtienne exactement le même nombre de voix auprès des autres électeurs soit (n-1)/2 et que mon propre suffrage soit donc décisif dans le résultat de l'élection

en supposant équiprobables les chances de chacun des deux candidats auprès des électeurs la probabilité qu'il y ait même nombre de suffrages est (n; n/2)/2^n (coefficient du binôme(n;n/2))

en utilisant l'approximation de Wallis on trouve 1/rac(pi.n/2)

exemple pour n=55 millions de suffrages; on trouve une probabilité de l'ordre de 1/3000 pour que mon suffrage puisse être éventuellement décisif

cordialement

GerardA LA MAISON · September 2006

Salut Jean.

Je suis tout à fait d'accord avec ton calcul, pas du tout avec son interprétation. En quoi mon suffrage est-il décisif ? Celui des autres votants l'est tout autant.
Après un peu plus de réflexion que ma rapide réaction d'hier soir, je pense même que tous les suffrages qui se sont exprimés pour le vainqueur sont décisifs :
M. X a gagné l'élection avec n voix (qui lui ont donné la majorité). Pour avoir la majorité, m voix suffisaient ($ m \leq n $), m-1 ne suffisant pas. Soit Y un votant. Je partage les votants en m-1, puis M. Y puis les m-n autres éventuels, et je compte les votes pour M. X dans l'ordre choisi. Le vote de M. Y est donc celui qui a fait gagner M. X !!

Pour en revenir à la question de probabilité du début, il manque un univers probabilisé sérieux pour y répondre.

Cordialement