Récurrence chaîne de naissance et de mort

Bonjour à tous,

Je suis face à une question que je ne parviens pas à résoudre. On considère un processus de naissance et de mort simple en temps discret, c'est-à-dire une chaîne de Markov à valeurs dans $\mathbb{N}$, de noyau de transition $p(i,i+1) = p(i,i-1) = 1/2$ pour $i$ non nul et $p(0,1)=1$. C'est clairement une chaîne irréductible.

Il existe un critère connu qui dit qu'une telle chaîne est récurrente ssi $\sum_{n \geq 1} \prod_{1 \leq i \leq n} \tfrac{p (i, i - 1)}{p (i, i + 1)} = \infty$, donc dans notre cas particulier, la chaîne est clairement récurrente.

Seulement, si on essaye déterminer la récurrence "à la main" comme pour la marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$, par exemple, on obtient pas le même résultat. En effet, pour une chaîne irréductible quelconque, on sait qu'elle est récurrente ssi l'état 0 est récurrent, ssi la série de terme général $P^n (0, 0)$ diverge. Il faut donc calculer $P^n (0,0)$, donc la probabilité d'aller de l'état 0 à l'état 0 en $n$ étapes. Comme pour la marche sur $\mathbb{Z}$, il n'est pas possible de le faire en un nombre impair d'étapes, donc on cherche plutôt $P^{2n} (0,0)$.

Disons qu'on voit un chemin de zéro à zéro comme une suite de la forme (D,G,D,G) où D représente une transition "vers la droite" et G une transition "vers la gauche". Pour calculer $P^{2n} (0,0)$, il suffit de connaître le nombre total de telles suites, disons $C_{n}$, que l'on multiplie par la probabilité de chaque transition $1/2$ : on a donc $P^{2n}(0,0) = C_{n} (1/2)^{2n}$.

Calculer $C_{n}$ n'est pas évident. On ne peut pas placer les D où l'on veut puisqu'il ne faut pas aller "à gauche" de zéro (la chaîne est à valeur dans $\mathbb{N}$). Aussi, une suite de la forme (D,G,G,D) est proscrite. En fait, le problème est le même que celui des nombres de Catalan (ou encore les mots de Dyck), qui consiste à dénombrer le nombre de chemins monotones le long des arrêtes d'une grille à $n*n$ carrés, qui restent sous (ou au niveau de) la diagonale, et on sait que $C_n = \dfrac{1}{n + 1} C_n^{2 n} \sim \dfrac{4^n}{n^{3 / 2} \sqrt{\pi}}$.
Mais alors, on obtient $P^{2 n} (0, 0) \sim \dfrac{1}{n^{3 / 2} \sqrt[]{\pi}}$ et cette série converge, donc la chaîne est transiente...

J'imagine qu'il y a donc un soucis dans ma deuxième méthode, mais je ne parviens vraiment pas à voir lequel. Je suis preneur si vous avez une idée :-)