Mesure de Lebesgue
Bonsoir à tous
J'ai du mal à comprendre pourquoi on n'a pas le droit de définir la mesure de Lebesgue sur l'espace mesurable (non borélien) $(\mathbb{R},P(\mathbb{R}))$.
J'ai du mal à comprendre pourquoi on n'a pas le droit de définir la mesure de Lebesgue sur l'espace mesurable (non borélien) $(\mathbb{R},P(\mathbb{R}))$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Certaines parties de $\mathbb{R}$ ne sont pas mesurables (les ensembles de Vitali, par exemple).
Ces parties (de [large]V[/large]itali) ne sont pas mesurables avec la mesure de Lebesgue ou et mesurables avec d'autres..?
Ce que je sais la première définition d'espace mesurable ne dépend pas de la mesure.
[Giuseppe Vitali (1875-1932) prend toujours une majuscule. AD]
Mon affirmation était fausse. Voir les messages de Poirot ci-dessous.
Effectivement, $V$ n'est pas mesurable au sens de Lebesgue, mais rien ne m'empêche de considérer la tribu
$$\sigma(V):=\{\emptyset,\mathbb{R},V,V^c\}$$
Pour l'espace mesurable $(\mathbb{R},\sigma(V))$, $V$ est mesurable : une partie n'est mesurable que par rapport à une tribu !
Ici, on a fixé la tribu borélienne.
Il se trouve que la possibilité d'étendre la mesure de Lebesgue en une mesure sur $\mathcal P(\mathbb R)$ est équiconsistant (au dessus de $\mathsf{ZFC}$) avec l'existence d'un cardinal mesurable (Solovay, Real-valued measurable cardinals, 1971). En particulier, il est impossible de démontrer qu'une telle extension existe.
Dans mon cours de probabilité, je motivais l'introduction des tribus à mes étudiants en leur indiquant qu'il n'existait pas de mesure $\lambda : \mathcal{P}(\Omega)\to [0,1]$ sur $\Omega = [0,1]$ de sorte que
\[\forall [a,b]\subset[0,1],\quad \lambda([a,b]) = b-a.\]
Du coup, je vais devoir trouver une motivation plus "juste". (:P)
J’ai peut-être loupé une subtilité, mais ce théorème semble indiquer que ma motivation précédente n’était pas fausse (non existence de la loi uniforme sur $[0,1]$ muni de la tribu des parties). Où est la différence avec ce que Poirot a indiqué? Est-ce que cela vient du fait que le théorème se limite aux probabilités?
Édit : Je crois que j’ai trouvé (l’article n’est pas très clair) : je crois que le théorème d’Ulam suppose l’hypothèse du continu…