Loi de Y/X - bornes intégrale double

Diasmine
Diasmine
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous,
Je m'entraine aux changements de variables et je n'arrive pas à faire la question b) de l'exercice suivant. J'ai effectué des changements de variable, mais je me retrouve à devoir intégrer une fonction impaire sur compact symétrique, ce qui annule tout....
Je pense que j'ai fait une erreur en redéfinissant mes bornes lors du changement de variable.
Sauriez-vous là où j'ai fait une erreur?128068
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Réponses

  • Kolakoski
    Kolakoski
    Bonjour,

    Que représentent $X$ et $Y$, et donc $Y/X$ ?
    Indice : le disque unité est l'ensemble des $(r\cos(t),r\sin(t))$ avec $(r,t)\in [0,1]\times \mathbb{R}$...

    Bon courage !
  • Diasmine
    Diasmine
    Ah oui, c'est plus simple de faire un changement de variables en coordonnées polaires, je vais essayer!
    Merci beaucoup! :)
  • Diasmine
    Diasmine
    J'ai donc trouvé que la densité de $Y/X$ appliquée à $u$ réel, est égale à $ \dfrac{1}{2\pi}\times \dfrac{1}{1+u^2}$128112
  • JLapin
    JLapin
    Tu veux dire "la densité" ?
    Sinon, il doit y avoir une erreur de constante multiplicative car l'intégrale sur R d'une densité vaut 1.
  • Chaurien
    Chaurien
    Ne serait-il pas plus indiqué de chercher d'abord la fonction de répartition de $\frac YX$?
    Et dans quel type d'enseignement pose-t-on ce problème ? Prépa ? Université ?
  • Diasmine
    Diasmine
    Oui pardon je voulais dire la densité.
    Oui effectivement c'est bizarre, quand j'intègre sur R ça me donne 1/2...
  • Diasmine
    Diasmine
    @ Chaurien: En général nous cherchons directement la fonction densité à partir de la formule de transfert. Je suis à l'université (M1).
  • Diasmine
    Diasmine
    Je crois que j'ai trouvé: la fonction tangente est pi-périodique, donc on peut dire que l'intégrale de 0 à 2*pi, c'est deux fois l'intégrales de 0 à pi. A la fin, on trouve comme densité 1/(1+u^2)*pi, ce qui donne bien 1 quand on l'intègre sur R.
  • Chaurien
    Chaurien
    Plus exactement $f_Z(z)=\frac 1{\pi(1+z^2)}$. Moi j'ai cherché d'abord la fonction de répartition, avec l'interprétation géométrique comme aire de secteurs circulaires.
  • Diasmine
    Diasmine
    Oui j'avais oublié de multiplier par l'inverse de pi décidément mon étourderie me joue des tours...
    Je n'ai pas vu cette technique, mais je note pour regarder ça merci beaucoup!
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