Petit exo sur la loi normale
Pour ceux qui trouvent que le forum de probabilités roupille en ce moment, petit exo de L3.
Soit $U_1,V_1,\ldots,U_n,V_n$ indépendantes et de même loi $N(0,1).$ Soit $X$ indépendante de $U_1$ et de loi de xhi-deux à $n$ degrés de liberté. Montrer que $U_1V_1+\cdots+U_nV_n$ et $\sqrt{X}U_1$ sont de même loi.
Soit $U_1,V_1,\ldots,U_n,V_n$ indépendantes et de même loi $N(0,1).$ Soit $X$ indépendante de $U_1$ et de loi de xhi-deux à $n$ degrés de liberté. Montrer que $U_1V_1+\cdots+U_nV_n$ et $\sqrt{X}U_1$ sont de même loi.
Réponses
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On peut utiliser les fonctions caractéristiques.
Lemme. Si $N$ est de loi normale centrée réduite et $Y$ une variable aléatoire indépendante de $N$, alors la fonction caractéristique de $N\cdot Y$ est la fonction $t\mapsto \mathbb E\left[ \exp\big(-\frac{t^2}2Y^2\big)\right]$ (conséquence du théorème de Fubini).
On en déduit par indépendance de la collection $(U_kV_k)_{k=1}^n$ et le lemme que la fonction caractéristique de $\sum_{k=1}^nU_kV_k$, notée $\varphi$, est
$$
\varphi\colon t\mapsto \prod_{k=1}^n\mathbb E\left[ \exp\Big(-\frac{t^2}2V_k^2\Big)\right]=
\mathbb E\left[\exp\Big(-\frac{t^2}2\sum_{k=1}^nV_k^2\Big)\right].
$$ Comme $\sum_{k=1}^nV_k^2$ suit une loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté, on obtient
$$
\varphi(t)=\mathbb E\left[\exp\Big(-\frac{t^2}2X^2\Big)\right],
$$ et le lemme donne le résultat attendu. -
L'idee est la.
Quelques details a corriger puisque la fonction caracteristique de $NY$ est plutot $\mathbb{E}(e^{-t^2Y^2/2}).$ -
Oui effectivement il manquait un carré.
Je n'y ai pas beaucoup réfléchi, mais j'imagine qu'il doit y avoir une interprétation géométrique de ce résultat. -
Bonne question. Peut-être celle ci : vu l'invariance par rotation des lois de $U=(U_1,\cdots,U_n)$ et $V,$ la loi du produit scalaire $\langle U,V\rangle$ est la même que celle de $\|V\|U_1.$
-
Ah oui, c'est l'interprétation que je cherchais. Merci.
C'est une bonne initiative de mettre un peu d'animation dans la partie probas du forum.
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