Exercice en indépendance et probabilité

PinkMan · September 2021

Bonsoir tt le monde
Je suis en train de faire quelques exercices de préparations en probabilité. Je suis tombé sur cet exercice qui me semble un peu challenging. Quelqu'un peut m'aider à trouver la solution ? Que ça soit des indices ou bien une solution.
Merci :-) 127152

girdav · October 2021

Bonjour,

Est-ce que tu as essayé de traiter le cas $n=2$ ? De procéder par récurrence ?

PinkMan · October 2021

J'ai essayé le cas $n=2$ et $n=3$ pour avoir une idée. J'ai fini par montrer l'égalité du premier indice (en montrant l'inclusion des deux côtés). Le deuxième indice reste mystérieux.

En ce qui concerne l'équivalence qu'il faut montrer, le sens direct est facile (pas besoin des indications). Je partage ma solution.

Pour $k\leq n$, on pose $I = \left\{1,\dots,n\right\}$, $I_k = \left\{i_1,\dots,i_k\right\}$ et $\tilde{I}_k = I\setminus I_k$.
On a $E_1,\dots ,E_n$ sont indépendants. Soit $F\in\mathcal{C}$. alors,
\begin{align*}
\mathbb{P}(F)&= \mathbb{P}\left(\cap_{i\in I} F_i\right), && \text{avec $F_i \in \left\{E_i, E_i^c\right\}$, pour $i\in I$}\\
&= \mathbb{P}\left( \cap_{i\in I_k} E_{i} \cap_{j\in \tilde{I}_k} E_{j}^c \right), && \text{pour $k\in I$}.

\end{align*} Vu que $E_i$ sont indépendants pour $i\in I$, alors $E_i$ pour $i\in I_k$ et $E_j^c$ pour $j\in\tilde{I}_k$ sont aussi indépendants. Alors,
\begin{align*}
\mathbb{P}(F) &= \mathbb{P}\left( \cap_{i\in I_k} E_{i} \cap_{j\in \tilde{I}_k} E_{j}^c \right), \quad \text{pour $k\in I$}\\
&= \prod_{i\in I_k} \mathbb{P}\left(E_i\right) \prod_{j\in\tilde{I}_k} \mathbb{P}\left(E_j^c\right)\\
&= \prod_{i\in I} \mathbb{P}\left(F_i\right).
\end{align*}

LOU16 · October 2021

Bonsoir
Pour la "réciproque", tu peux présenter la chose de la manière suivante.

On suppose donc: $\:\:\forall F \in \mathcal C,\:\:\mathbb P (F) = \displaystyle \prod _{i=1} ^n \mathbb P(F_i). \quad(\bigstar) \qquad \forall i \in [\![1;n]\!], \qquad $ notons: $ \quad E_i^0 = E_i, \quad E_i^1 =E_i^c.$
Soit $A$ une partie de $[\![1;n]\!],\quad B =[\![1;n]\!]\setminus A.\qquad \mathcal E = \Big\{\varepsilon =(\varepsilon _1,\varepsilon _2,\dots \varepsilon _n )\in \{0,1\}^n \mid \forall i \in A , \:\:\:\varepsilon_i =0 \Big\}$
$$\displaystyle \bigcap _{i\in A} E_i = \bigcup _{\varepsilon \in \mathcal E}\left(\bigcap _{i =1}^n E_i^{\varepsilon _i}\right), \qquad \text{la réunion étant disjointe}. \\
\mathbb P\left(\displaystyle \bigcap _{i\in A} E_i \right)\overset{(\bigstar)} = \sum _{\varepsilon \in \mathcal E} \prod _{i=1}^n \mathbb P (E_i^{\varepsilon _i})= \prod _{i\in A}\mathbb P(E_i) \sum _{\varepsilon \in \{0;1\} ^B}\: \prod_{i\in B} \mathbb P (E_i^{\varepsilon _i})= \prod _{i\in A}\mathbb P(E_i) \prod_{i\in B}\Big(\mathbb P(E_i^0)+\mathbb P(E_i^1) \Big)= \prod _{i\in A}\mathbb P(E_i).$$