Fonction mesurable et variable aléatoire
Bonjour à tous, dans mon cours, j'ai le lemme suivant.
Soit $X$ un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^m$ et soit $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable. Ainsi $g(X)$ est une variable aléatoire réelle.
On me demande de prouver ce lemme pour s'entraîner et j'ai procédé de la manière suivante.
Définissons $Y := g \circ X$, ainsi d'après une propriété de composée de fonctions, on a $Y : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Il en résulte que $Y$ associe pour chaque sous-ensemble de $\Omega$ une valeur réelle.
J'ai l'impression que ceci est trop "logique" et que je n'ai pas fais les choses correctement ? Je vous demande donc votre aide. Merci à tous pour le temps que vous pourrez m'accorder.
Soit $X$ un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^m$ et soit $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable. Ainsi $g(X)$ est une variable aléatoire réelle.
On me demande de prouver ce lemme pour s'entraîner et j'ai procédé de la manière suivante.
Définissons $Y := g \circ X$, ainsi d'après une propriété de composée de fonctions, on a $Y : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Il en résulte que $Y$ associe pour chaque sous-ensemble de $\Omega$ une valeur réelle.
J'ai l'impression que ceci est trop "logique" et que je n'ai pas fais les choses correctement ? Je vous demande donc votre aide. Merci à tous pour le temps que vous pourrez m'accorder.
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Réponses
Tu devrais revoir la définition de "variable aléatoire". Ce n'est pas seulement une application.
$X$ est une variable aléatoire vectorielle, et tu dois démontrer que $Y$ est une variable aléatoire réelle. Tu as démontré qu'elle est réelle (c'était évident), reste à démontrer que c'est une variable aléatoire.
Cordialement.
[Battu de 2 mn par Aléa; mais content de voir qu'on dit la même chose !]
Il faudrait plutôt dire que $Y$ associe à chaque élément de $\Omega$ une valeur réelle.
Soit $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ notre espace de probabilité. Sachant que $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^m$ et $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, on peut définir $Z := g \circ X$ qui associe un nombre réel $Z(w)$ à chaque $w \in \Omega$.
$g$ est mesurable, ainsi :
$$
\forall y \in \mathbb{R}, \quad g^{-1}(]{-}\infty , y]) \in\, ]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]
$$ $X$ est un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^m$, ainsi
$$
\forall x \in \mathbb{R}^m, \quad X^{-1}(]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]) \in \mathcal{F}.
$$ Grâce aux propriétés des fonctions composées on a : $X^{-1} \circ g^{-1} = Z^{-1}$, ainsi :
$$
Z^{-1}(]{-}\infty , y]) \in \mathcal{F} .
$$ Par conséquent, $Z$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ telle que pour chaque $x \in \mathbb{R}$, l'image inverse de $]{-}\infty, x]$ est un élément de $\mathcal{F}$, i.e $Z$ est une variable aléatoire.
Bref, il faut tout revoir. Il s'agit de justifier que si $A$ est un borélien de $\mathbb R$, alors $Z^{-1}(A) \in \mathcal F$, c'est beaucoup plus immédiat que ce que tu écris (en te trompant).
Poirot : certains ouvrages (la plupart anglo-saxons) définissent, par classe monotone, la mesurabilité comme une condition sur les pavés rectangulaires infinis d'un côté $]{-}\infty, x_1] \times \dots \times ]{-}\infty, x_m]$.