Tirages simultanés et produit cartésien
Bonjour à tous
Je me pose une question depuis un bon bout de temps mais je n'arrive pas à démontrer/comprendre le fond du raisonnement.
Je propose l'exemple suivant : on souhaite connaître le nombre de tirages de 5 cartes parmi 32 cartes contenant 3 piques et 2 carreaux. Il y a donc (3 parmi 8)x(2 parmi 8) tirages possibles. Notons E l'ensemble des tirages tel que décrits.
Mais voilà ma question : ici on multiplie le cardinal de deux ensembles pour avoir le cardinal de E, si bien que E est le produit cartésien de deux ensembles. Mais le produit cartésien implique un ordre, non ? Cela correspondrait à choisir deux cartes, et ensuite trois. Or ici le tirage est simultané, donc je ne comprends pas comment l'on arrive rigoureusement à démontrer que le cardinal de E est un produit (de cardinal).
Je comprends que un tirage sera de la forme {c,c,p,p,p} = {c,c} U {p,p,p} mais je ne vois pas comment on peut arriver à un produit cartésien... Si quelqu'un sait comment l'on arrive de l'un à l'autre rigoureusement, je suis preneuse. Mon professeur de TD n'a pas su m'expliquer, il m'a simplement dit que c'est comme ça d'après le principe multiplicatif (cette explication ne me satisfait pas et j'aimerais comprendre le fond du raisonnement).
Merci à tous, et bonne journée !
Je me pose une question depuis un bon bout de temps mais je n'arrive pas à démontrer/comprendre le fond du raisonnement.
Je propose l'exemple suivant : on souhaite connaître le nombre de tirages de 5 cartes parmi 32 cartes contenant 3 piques et 2 carreaux. Il y a donc (3 parmi 8)x(2 parmi 8) tirages possibles. Notons E l'ensemble des tirages tel que décrits.
Mais voilà ma question : ici on multiplie le cardinal de deux ensembles pour avoir le cardinal de E, si bien que E est le produit cartésien de deux ensembles. Mais le produit cartésien implique un ordre, non ? Cela correspondrait à choisir deux cartes, et ensuite trois. Or ici le tirage est simultané, donc je ne comprends pas comment l'on arrive rigoureusement à démontrer que le cardinal de E est un produit (de cardinal).
Je comprends que un tirage sera de la forme {c,c,p,p,p} = {c,c} U {p,p,p} mais je ne vois pas comment on peut arriver à un produit cartésien... Si quelqu'un sait comment l'on arrive de l'un à l'autre rigoureusement, je suis preneuse. Mon professeur de TD n'a pas su m'expliquer, il m'a simplement dit que c'est comme ça d'après le principe multiplicatif (cette explication ne me satisfait pas et j'aimerais comprendre le fond du raisonnement).
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Réponses
Ainsi $T=\mathcal{B}_5(J)$, où $J$ est l'ensemble des cartes du jeu.
$E$ est une partie de $T$ qui est en bijection avec $\mathcal{B}_3(P)\times \mathcal{B}_2(C)$, où $P$ est l'ensemble des cartes pique et $C$ l'ensemble des cartes carreau.
Mais $T$ est aussi en bijection avec $\mathcal{B}_2(C)\times \mathcal{B}_3(P)$, ce n'est pas la même bijection, mais à la fin c'est le même cardinal.
Et comment démontrer rigoureusement que E est en bijection avec $\mathcal{B}_2(C)\times \mathcal{B}_3(P)$ ? C'est vraiment cette partie qui me pose problème...
dont le premier élément est l'ensemble de ses 2 carreaux et le second élément l'ensemble des 3 piques.
Je n'ai pas compris la question de cette manière. Quand on tire 3 piques parmi 8, on obtient un ensemble de tirages. Quand on tire 2 carreaux parmi 8, on obtient un autre ensemble de tirages. Le tirage de 3 piques et 2 carreaux est bien le produit cartésien des 2 ensembles sus-tirés. Mais le produit cartésien n'est pas ordonné ! Toute la suite du pseudo-paradoxe devient caduque.
Non.