Récurrents ou transitoires
Bonjour,
je suis coincé dans de la question suivante les états sont-ils récurrents ou transitoires ?
Un état $i$ dans une chaîne de [large]M[/large]arkov à temps continu $\{X(t)\}, \ t\geq 0$, est récurrent (transitoire) $\iff \sum_{n=0}^{\infty}t^{(n)}_{ii}=\infty (<\infty)$
Exercice 1
la matrice de passage de la chaîne discrète induite donnée par :
\[
T=\begin{pmatrix}
0&\tfrac{1}{3}& 0 & 0\\
1& 0 & \tfrac{2}{5}& 0\\
0& \tfrac{2}{3} &0 & 1 \\
0& 0 &\tfrac{3}{5}& 0
\end{pmatrix}\]
les états sont-ils récurrents ou transitoires ?
Exercice 2 :
la matrice de passage de la chaîne discrète induite donnée par :
\[T=\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{c}{c+d}& \dfrac{e}{e+f}\\
\dfrac{a}{a+b}&0 & \dfrac{f}{e+f}\\
\dfrac{b}{a+b}& \dfrac{d}{c+d} &0
\end{pmatrix}\]
Est-ce que ç'est correct de dire, pour $n$ suffisamment grand, on a $T^{n}=0$ donc $\forall i\in\{1,2,3\},\ t_{ii}^{(n)}=0$ ce qui implique que : $ \sum_{n=0}^{\infty}t^{(n)}_{ii}=0<\infty$.
Par conséquent, chaque état est transitoire dans cette chaîne.
Si on utilise corollaire 2.
On vérifie avec le graphe qu'il y a une seule classe d’états communicants donc cette chaîne est irréductible par conséquent, chaque état est récurrent dans cette chaîne.
Merci d'avance.
[Andreï Markov (1856-1922) prend toujours une majuscule. AD]
je suis coincé dans de la question suivante les états sont-ils récurrents ou transitoires ?
Un état $i$ dans une chaîne de [large]M[/large]arkov à temps continu $\{X(t)\}, \ t\geq 0$, est récurrent (transitoire) $\iff \sum_{n=0}^{\infty}t^{(n)}_{ii}=\infty (<\infty)$
Exercice 1
la matrice de passage de la chaîne discrète induite donnée par :
\[
T=\begin{pmatrix}
0&\tfrac{1}{3}& 0 & 0\\
1& 0 & \tfrac{2}{5}& 0\\
0& \tfrac{2}{3} &0 & 1 \\
0& 0 &\tfrac{3}{5}& 0
\end{pmatrix}\]
les états sont-ils récurrents ou transitoires ?
Exercice 2 :
la matrice de passage de la chaîne discrète induite donnée par :
\[T=\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{c}{c+d}& \dfrac{e}{e+f}\\
\dfrac{a}{a+b}&0 & \dfrac{f}{e+f}\\
\dfrac{b}{a+b}& \dfrac{d}{c+d} &0
\end{pmatrix}\]
Est-ce que ç'est correct de dire, pour $n$ suffisamment grand, on a $T^{n}=0$ donc $\forall i\in\{1,2,3\},\ t_{ii}^{(n)}=0$ ce qui implique que : $ \sum_{n=0}^{\infty}t^{(n)}_{ii}=0<\infty$.
Par conséquent, chaque état est transitoire dans cette chaîne.
Si on utilise corollaire 2.
On vérifie avec le graphe qu'il y a une seule classe d’états communicants donc cette chaîne est irréductible par conséquent, chaque état est récurrent dans cette chaîne.
Merci d'avance.
[Andreï Markov (1856-1922) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
-
Pour l'exercice 1, la chaîne est clairement récurrente.
L'erreur est que tu essaies d'appliquer un critère de transience/récurrence pour le temps discret au temps continu.
Si tu veux appliquer le critère, il faut commencer par calculer la matrice de passage de la chaîne discrète induite. -
Bonjour,
Merci beaucoup aléa,
mais la matrice T représente la matrice de passage de la chaîne discrète induite et je n’arrive pas appliquer le critère 1 de transience/récurrence à savoir
Critère 1:
Un état $i$ dans une chaîne de [large]M[/large]arkov à temps continu $\{X(t)\}, \ t\geq 0$, est récurrent (transitoire) $\iff \sum_{n=0}^{\infty}t^{(n)}_{ii}=\infty (<\infty)$
Exercice 2.
La matrice de passage de la chaîne discrète induite donnée par :
\[
T=\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{c}{c+d}& \dfrac{e}{e+f}\\
\dfrac{a}{a+b}&0 & \dfrac{f}{e+f}\\
\dfrac{b}{a+b}& \dfrac{d}{c+d} &0
\end{pmatrix}
\] Critère 2:
Cette chaîne est finie de plus, on a d'après le graphe une seule classe d’états communicants donc cette chaîne est irréductible par conséquent, chaque état est récurrent dans cette chaîne.
Exercice 1
La matrice de passage de la chaîne discrète induite donnée par :
\[
T=\begin{pmatrix}
0&\tfrac{1}{3}& 0 & 0\\
1& 0 & \tfrac{2}{5}& 0\\
0& \tfrac{2}{3} &0 & 1 \\
0& 0 &\tfrac{3}{5}& 0
\end{pmatrix}
\] Critère 2.
Cette chaîne est finie de plus, on a d'après le graphe une seule classe d’états communicants donc cette chaîne est irréductible par conséquent, chaque état est récurrent dans cette chaîne.
Mais est-ce que peut-on utiliser le critère 1 et comment le faire ?
Merci d'avance. -
Ah, c'est bizarre, en probas j'ai toujours vu les matrices dans l'autre sens.
Mais tu as dû faire une erreur de calcul, les puissances de la matrice ne tendent pas vers 0. -
Bonjour,
si j'ai bien compris, j'ai bien appliqué le critère 2 pour répondre à ces questions, mais pour le critère 1 il me fallait de bien calculer la matrice $T^{n}$ n'est ce pas. Merci d'avance
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