Expression à calculer d'une chaîne de Markov

Bonjour à tous. Je suis tombé sur un exercice qui me cause une certaine difficulté et je suppose que c'est moi qui suis fatiguée, puisque la question parait très simple, mais je n'arrive pas à trouver un cheminement pour y répondre. Mon problème n'est pas vraiment lié aux probabilités, mais le sujet l'est. Je m'explique en simplifiant le long énoncé de l'exercice.

On a une chaine de Markov homogène $X=(X_n)$, à temps discret, définie sur un espace général $E$ et on note, comme c'est le cas en général, par $P^n(x,\Gamma)=\mathbb{P}(X_n\in \Gamma\mid X_0=x)$. On définie alors, pour tout $\Gamma$ dans la $\sigma$-algèbre des évènements (supposée dénombrablement engendrée : réunion dénombrable) l'expression $A(\Gamma)=\sup\limits_{x,y\in E} \left|P(x,\Gamma)-P(y,\Gamma) \right|\ $ et $\ B =\sup\limits_{\Gamma}A(\Gamma)$.
On considère alors, pour le cas d'espace d'état discret, la matrice de transition suivante.
\[P=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
8& 2&4&2 \\
4 & 6&4& 2 \\
3 &5 &7&1\\
5 &4 &5&2\\
\end{pmatrix} .

\] 1. Il nous est demandé de calculer $A(\Gamma)$, pour tout $\Gamma$ pour cette matrice.
2. Puis de calculer $B$ et de comparer à la quantité $C=\sup\limits_{i,j,k}|P(i,\left\lbrace k\right\rbrace )-P(j,\left\lbrace k\right\rbrace )|$.

Pour $C$, j'ai trouvé $\frac{5}{16}$ (et je pense que c'est bon). Par contre, pour calculer $A$ et $B$ c'est très long et les calculs dans ma tête sont assez confus (je pense qu'il y a une astuce ou toute autre démarche).
Je suis sur cette question depuis deux jours (alors que les autres questions j'ai répondu sans problème, tandis que cette première question je suis bloqué).
Toute suggestion ou explication de la démarche avec le résultat final de $B$ sont les bienvenues.
Merci à l'avance et bonne fin de semaine.
zenon