Probabilité de rencontrer meilleur candidat

PolVano · September 2021

Bonjour,

J'ai lu dans un livre que le "taux" pour trouver le meilleur candidat dans un processus de recrutement décroît parce que le deuxième candidat a $0.5$ chances d'être le meilleur candidat par contre le $n$-ième candidat a $\frac{1}{n}$ chances d'être le meilleur candidat.

Je ne comprends pas trop comment en fait. Je suis d'accord que la probabilité de choisir aléatoirement parmi les $n$ candidats est $\frac{1}{n}$ mais lorsqu'on impose que le dernier candidat soit le meilleur candidat cela sous-entend que tous les autres candidats ne sont pas à sa hauteur. Si nous modélisons chaque candidat par une variable aléatoire qui peut prendre soit 1 s'il est le meilleur soit 0 dans le cas contraire, alors c'est plutôt $P(X_{n}=1 \cap X_{n-1}=0 \cap ... \cap X_{1}=0)$ non ?

Je ne sais pas si je dis n'importe quoi mais j'espère que quelqu'un pourra me confirmer et me rectifier mon erreur de raisonnement dans le cas où c'est faux.

Merci d'avance.

Lucas · September 2021

Pour que la question ait du sens il faut :
- définir la stratégie de recrutement (et selon ta culture mathématique, quelle est la filtration et le temps d'arrêt associé)
- donner la loi jointe des $X_i$
- ... et au fait, quelle est la question exactement?

gerard0 · September 2021

Bonjour.

J'ai l'impression qu'il y a confusion entre "être le meilleur candidat" et "être le meilleur candidat parmi ceux qui ont été examiné jusque là".
Pour éviter tout problème, je suppose que du points de vue du recruteur, les candidats ont des niveaux tous différents, et que le but est de recruter le meilleur. Et que les candidats arrivent au hasard, pas déjà pré-triés.
Dans ce cas, s'il y a N candidats, le n-ième postulant a, comme les autres ("au hasard" = équiprobabilité) la probabilité $\frac 1 N$ d'être le meilleur.

Par contre, pour la probabilité d'être le meilleur candidat parmi ceux qui ont été examiné jusque là, il y a effectivement décroissance de la probabilité, le premier examiné donnant une probabilité de 1, le deuxième de 1/2, le troisième de 1/3. Tu peux facilement justifier ces résultats.

Le danger serait d'en déduire qu'il faut arrêter le processus de sélection avant le dernier. Car dans cet état d'esprit, il faut s'arrêter au premier !!

Cordialement.

PolVano · September 2021

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

Je pense que vous avez raison @Lucas, mais le livre ne précise pas la stratégie de recrutement, et les variables aléatoires n'ont été introduites par moi juste pour quantifier ce "meilleur" et essayer de comprendre un peu mieux, mais je pense que oui la réponse va dépendre de toutes ces considérations.

Par contre je ne comprends pas trop comment les probabilités décroissent en $\frac{1}{k}$. Si nous nous arrêtons au 3-ème candidat, la probabilité qu'il soit le meilleur parmi ceux qui ont été examiné jusque là est bien $P(A \cap

$ avec $A$ l'événement "Le 3-ème candidat est meilleur que le 2-ème" et $B$ l'événement "Le 3-ème candidat est meilleur que le 1-er", si on suppose que ces deux événements sont indépendants alors $P(A \cap

= P(A).P(B)$ et $P(A)=\frac{1}{2}$ et de même $P(B)=\frac{1}{2}$ (un candidat a une chance sur deux d'être meilleur qu'un autre) non ?

gerard0 · September 2021

Sur 3 candidats, les ordres de classement possibles sont 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1. Par équiprobabilité des passages, ces 6 ordres sont équiprobables, et il y en a deux pour lesquels le meilleur est le troisième.

Cordialement.

PolVano · September 2021

Je vois, merci pour votre réponse. Pourrais-je vous demander quelle est la faute que j'ai commise dans mon calcul de probabilités s'il vous plaît ?

Je pense que ma faute c'est que je n'ai pas défini un univers de probabilité ni une probabilité adéquate sur cet univers. J'ai parlé de $A$ et de $B$ mais on voit bien que $P$ n'est pas une probabilité puisque déjà $P(A)+P(B)=1$ alors qu'il y a d'autres événements, ou du moins n'est pas une 'bonne' probabilité. Mais je me demande s'il y a d'autres erreurs.

lourrran · September 2021

Pour avoir le droit de multiplier des probabilités, il faut certaines conditions.
A toi de dire lesquelles, et à toi de dire pourquoi ces conditions ne sont pas vérifiées.

Tu emploies des mots compliqués (univers de probabilités ...). Pourquoi pas, mais ici, comme souvent dans ces questions de probabilités, le bon sens paysan est bien suffisant pour comprendre ces questions.

gerard0 · September 2021

Polvano,

tu as seulement employé l'indépendance de deux événement qui ne l'étaient pas. "si on suppose que ces deux événements sont indépendants" est déjà le ratage d'une preuve. Une preuve ne suppose rien de plus que ce qui est donné au départ.

Cordialement.

P. · September 2021

Il s'agit peut etre du 'probleme des secretaires' $N$ candidates qu'on interviewe l'une apres l'autre, avec la contrainte que si on la choisit, il faut l'embaucher immediatement et cesser les interviews. La meilleure procedure est d'interroger d'abord $e^{-1}N $ d'entre elles et de prendre ensuite la premiere qui serait meilleure que toutes les $e^{-1}N $ premieres. Avec un petit risque de n'embaucher personne. Kepler est repute avoir choisi ainsi sa seconde femme parmi $N=11 partis.

PolVano · September 2021

Bonjour,

Merci pour vos réponses. Je comprends mieux, j'avais pensé que les deux événements seraient indépendants puisque le fait que le troisième candidat soit meilleur que le deuxième ne nous indique rien sur le fait que le troisième candidat soit meilleur ou non que le premier. Mais ça, c'est "physiquement" alors qu'en terme de probabilité, s'avoir que l'événement "le troisième candidat est meilleur que le deuxième" impacte la probabilité de l'événement "le troisième candidat est meilleur que le premier".

Merci @P. pour l'anecdote, donc c'est une question qui remonte à l'époque de Kepler ?

gerard0 · September 2021

Non, Kepler ne faisait pas de probabilités. Mais Koestler, dans "Les somnambules", reprend les courriers de Kepler où il décrit la façon dont il a choisi son épouse par rejets successifs, revenant finalement à une des premières (donc ce n'est pas tout à fait le problème des secrétaires).

Cordialement.