d(i)=0 ==> {i} est une classe communicante

Yang
Yang
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à toute et à tous.
L’exercice est le suivant.

On se place dans une chaine de [large]M[/large]arkov à temps discret. Montrer que :
Si d(i)=0 alors l'ensemble {i} est une classe communicante.
Comment je peux montrer cette assertion ?
Merci d'avance.

[Andreï Markov (1856-1922) prend toujours une majuscule. AD]126640

Réponses

  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    Supposons $d(i)=0$, donc, pour tout $n\geq1$, $P_{i,i}^n\leq0$.
    Soit $j$ dans la classe communicante de $i$.
    Soit $n,m$ tels que $P^n_{i,j}>0$ et $P^m_{j,i}>0$
    $P^{n+m}_{i,i}=\sum_{l\in E}P^n_{i,l}P^m_{l,i}$
    On sort de la somme un terme strictement positif
    On conclut
  • Yang
    Yang
    Bonjour
    Merci beaucoup, $P^{n+m}_{i,i}=\sum_{l\in E}P^n_{i,l}P^m_{l,i}=P^n_{i,j}P^m_{j,i}+\sum_{l\in E,\;l\neq j}P^n_{i,l}P^m_{l,i}>0$,
    donc on a bien $i \leftrightarrow i$, ce qui contredit l’hypothèse de supposition $ n\geq1 P_{i,i}^n\leq0 $ (absurde), donc il existe aucun $j$ dans $E : j\in cl(i)$ de plus $\forall i\in Cl(i)$ donc $cl(i)=\{i\}$
    Par suite, l'ensemble $\{i\}$ est une classe communicante.

    Est-ce qu'en général pour montrer un ensemble une classe communicante on procède comme suit :
    $\forall i \in E$, $\ \{i\}$ est une classe communicante $\iff\exists n \in \mathbb{N},\ p_{ii}^{n}>0\iff i \leftrightarrow i$
    $cl(i):=\{j\in E \mid i \leftrightarrow j\}=\{i\}$
    $\forall A\subset E,\ A=\{i;j\}$, $A$ est une classe communicante $\iff\exists n,m \in \mathbb{N},\ p_{ij}^{n}>0$ et $p_{ji}^{m}>0 \iff i \leftrightarrow j$
    $cl(i)=cl(j)=\{i;j\}$

    Svp corrigez-moi si je me trompe, Merci d'avance.
  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    Sois plus honnête et/ou précis dans tes arguments, évalue et ressens chacun de tes mots. 2ème ligne, tu dis que c'est absurde, qu'est-ce qui est absurde quand on n'a rien supposé par l'absurde ? Ça ressemble à du chipotage, ça pourrait l'être mais ça l'est pas puisque tu sautes un argument à cause de cette petite erreur.

    Ensuite, je ne comprends pas ta première question. La première condition est toujours validée, il suffit de prendre $n=0$, $p_{i,i}^0=Id_{i,i}>0$. La seconde condition est toujours validée, puisque la relation est une relation d'équivalence donc a fortiori réflexive. La dernière condition est en fait exactement ce que tu veux montrer donc je ne comprends pas trop.

    Pour ta deuxième question, c'est faux, encore une fois, il faut méditer un petit peu sur les implications que tu écris, les conditions que tu cites ne montrent qu'une inclusion et non l'égalité complète écrite.
  • Yang
    Yang
    Bonjour,

    Merci beaucoup, svp c'est quoi la conclusion pour terminer la preuve, et en général comment peut-on montrer qu'un enesemble est une classe communicante ?
    Merci d'avance
  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    Bonjour, je vais te l'écrire entièrement.
    Supposons $d(i)=0$, donc pour tout $m\geq1$, $P^m_{i,i}=0$. (*)
    Soit $j$ dans la classe communicante de $i$.
    Il existe donc $m,n\in\mathbb{N}$ tels que $P^m_{i,j}>0$ et $P^n_{j,i}>0$.
    (Ton calcul est parfait, et je suis paresseux donc je le saute)
    Donc $P^{m+n}_{i,i}>0$.
    D'après (*), on conclut que $m+n=0$, donc $m=n=0$
    Donc, $Id_{i,j}>0$, et puisque $Id$ vaut 1 sur la diagonale et 0 partout ailleurs, on obtient $j=i$.
    Donc, la classe communicante de $i$ est réduite à $j$.
    La preuve est terminée.

    Il y a juste besoin de montrer une inclusion, à savoir celle de la classe de $i$ dans $\{i\}$, puisque l'autre est vraie pour tout $i$ pour toute classe d'équivalence, par le caractère réflexif des relations d'équivalence !
  • Yang
    Yang
    Merci beaucoup pour votre aide précieuse
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