Calcul d’une probabilité

Comment est-ce que tu as trouvé $1/2$ sans explication ?
Pour chercher, on peut par exemple se demander: si on tire au hasard deux longueurs $a$ et $b$, quelles sont les contraintes (géométriques) pour la longueur du troisième côté (penser al-Kashi).

D'accord ! On peut y arriver de plusieurs façons. Avec ce qui est déjà écrit, ayant nos deux longueurs, il faut et suffit que la troisième satisfasse $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab \cos \widehat{C}}$ pour un certain angle $\widehat{C}$ afin qu'un triangle avec ces trois longueurs existe (le cosinus est ici notre degré de liberté pour construire un triangle à partir de deux longueurs). Cette quantité prend ses valeurs entre $|a-b|$ et $a+b$: on cherche à calculer l'évènement $\Omega=\{(a,b,c) / (a,b) \in [0,1]^{2}, c \in [|a-b|, a+b]\}$ pour une loi produit uniforme sur $[0,1]$ pour $a,b,c$.
Il reste alors à calculer l'intégrale peu agréable $\mathbb{P}(\Omega)=\iint_{0}^{1}\int_{0}^{1}1_{[|u-v|, u+v]}(w)dudvdw$. On peut l'écrire $\iint_{0}^{1}(\min(1, u+v)-|u-v|)dudv$ et calculer. Cela devrait faire $\frac{1}{2}$ !

La méthode de lourrran est plus géométrique.

PS: Je n'ai vraiment pas la fibre probabiliste, donc il se peut que quelqu'un vienne ici expliquer une méthode bien plus élégante (par exemple en conservant la symétrie du problème) et mieux rédigée.

Merci d'avoir répondu P., c'est bien plus efficace (et en plus, cela reprend le message de départ de Sara1993) (tu)

Autre approche. La probabilité demandée est le volume du domaine $D$ défini dans un repère orthonormal par :
$D=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3~ |~0\le x \le 1, ~0\le y \le 1,~ 0\le z \le 1,~ x \le y+z,~ y \le z+x,~ z\le x+y \}$.
Soient les points $O(0,0,0),~A(0,1,1),~B(1,0,1),~C(1,1,0),~E(1,1,1)$.
Le domaine $D$ est la réunion des tétraèdres $OABC$ (qui est régulier) et $ABCE$ (qui est trirectangle en $E$).
Le volume de $OABC$ est $ \frac13$ et le volume de $ABCE$ est $\frac 16$.
Bonne journée d'été indien.
Fr. Ch.