Une mini colle

P.
P.
dans Probabilités, théorie de la mesure
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes de même loi $\mathcal N(0,1),$ dire si $|X|-|Y|$ est de loi normale ou non.

Réponses

  • rémi
    rémi
    On peut peut-être faire quelque chose avec les fonctions caractéristiques ?
  • P.
    P.
    Ouais, mais la fonction caractéristique de $|X|$ n'est pas calculable explicitement...
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Ne voyant pas de réponse immédiate, je calcule $P(|Y|-|X|\leq z).$ On peut se contenter de faire le cacul avec $z>0$ vu la symétrie. On obtient la densité de la v.a $|Y|-|X|$ qui visiblement n'est pas la densité de la loi normale.
     
  • P.
    P.
    Bon, pour ceux qui donnent leur langue au chat, une condition necessaire pour qu'une va $Z$ centree soit normale est
    $$\frac{\mathbb{E}(Z^4)}{(\mathbb{E}(Z^2))^2}=3.$$
  • Renart
    Renart
    C'est marrant ça, d'où est-ce qu'elle sort cette dernière formule ?
  • P.
    P.
    Eh bien, du fait que $\mathbb{E}(Z^4)=3$ et que $\sigma Z\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ si $Z\sim\mathcal{N}(0,1).$
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