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Somme de deux lois binomiales

insoo17insoo17
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
Comment peut-on démontrer simplement (si c'est possible) que la somme de deux lois binomiales de paramètres (n,p1) et (n,p2) avec p1 et p2 différents ne suit pas une loi binomiale?

Merci pour toute aide.

Réponses

  • aléaaléa
    Si les deux variables sont indépendantes, on peut regarder la fonction génératrice et faire un peu d'algèbre.
  • jandrijandri
    Quand les variables sont indépendantes c'est très simple, il suffit d'utiliser l'espérance et la variance.
  • insoo17insoo17
    Peux tu préciser ce cas d'indépendance.
    L'espérance de la somme dans ce cas est n(p1+p2) et la variance n(p1(1-p1) + p2(1-p2)).
    Mais après je ne vois pas quoi en faire pour aboutir au fait que la somme ne suit pas une loi binomiale pour autant.
  • BrigateBrigate
    Bonjour,

    L’espérance d’une binomiale vaut np donc si l’espérance de la somme est une binomiale on a p=p1+p2.
    La variance d’une binomiale vaut np(1-p) on aurait donc n(p1+p2)(1-(p1+p2)) comme variance. Est-ce vrai ?
  • insoo17insoo17
    Je vois mais dans le raisonnement avec l'espérance, qu'est-ce qui prouverait que n reste le même?
    Si p1 et p2 étaient supérieur à 0,5 on sentirait tout de suite qu'il y a un problème car p1 + p2 > 1 et donc qu'il faudrait que n diminue... Du coup je m'interroge: la somme ne pourrait-elle pas donner une loi binomiale où cette somme n'est de paramètres ni n, ni p1 + p2? Je n'arrive à contredire cela avec les espérances et variances seules (même si je vois bien le raisonnement avec les fonctions génératrices).
  • BrigateBrigate
    Tu as raison. Mon commentaire ne vaut que si le n reste le même. Je pense qu’on pourrais comparer les moments d’ordre 3 mais ça revient au même que d’utiliser la fonction génératrice.

    Bonne continuation.

    Edit : en fait mon commentaire ne vaut rien du tout.
  • jandrijandri
    $X_1$ et $X_2$ prennent toutes les valeurs entre 0 et $n$ donc $X_1+X_2$ prend toutes les valeurs entre 0 et $2n$.

    Si $X_1+X_2$ suit une loi binomiale elle est de paramètres $(2n,r)$.
  • insoo17insoo17
    Et combien vaut r?
  • jandrijandri
    On ne calcule pas $r$, on élimine $r$ entre l'égalité des espérances et celle des variances.

    On peut d'ailleurs généraliser : la somme de deux variables indépendantes suivant une loi binomiale respectivement de paramètres $(n_1,p_1)$ et $(n_2,p_2)$ suit une loi binomiale si et seulement si $p_1=p_2$.
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