Brownien et temps d’arrêt

Calli a écrit:

Non mais $T_{-1}$ est déjà défini sur notre espace probabilisé, et non indépendant de $T_1$, donc c'est un peu mal dit ce que tu dis.

D’accord, serait-il mieux de dire que $T$ à la même loi que $X+Y$ avec $X$ et $Y$ indépendants de même loi que $T_1$ ? Ou est ce aussi mal formulé ?

Calli a écrit:

Ensuite, par symétrie, $T_{-1}$ et $T_1$ ont la même loi, donc $\Bbb P_T = \Bbb P_{T_1} * \Bbb P_{T_1}$. Vois-tu comment en déduire que $T$ a la même loi que $T_2$ ? Le truc important pour le justifier c'est la propriété de Markov forte ; donc si ça ne te paraît pas évident, il faut s'appliquer en l'appliquant.

A vrai dire, j’ai du mal a voir comment utiliser la propriété de Markov forte avec des mesures de probabilités. (Et j’aimerais bien savoir, ne serait-ce que par curiosité.)

Ce que j’ai essayé de faire avec $T_1$ :
$T = \inf \{ t \geq T_1 ; B_t=0 \} = T_1 + \inf \{ t \geq 0 ; B_{t+T_1}=0 \} = T_1 + \inf \{ t \geq 0 ; B_{t+T_1} -1 =-1 \}$ qui par Markov fort a même loi que $T_1 + \inf \{ t \geq 0 ; W_t=-1 \}$ avec $W$ un mouvement brownien indépendant de $\sigma ( B_s ,\ s \leq T_1 ) $
Je ne vois pas comment faire apparaître un $T_2$ avec cette méthode. Une idée ?

Edit: J’ai finalement trouvé quelque chose :
$T_2= \inf \{ t \geq 0 ; B_t = 2 \} = \inf \{ t \geq 0 ; B_{t+T_1}-1=1 \} + T_1 $ car $T_1<T_2$ ps qui a la même loi que $\inf \{ t \geq 0 ; W_t = 1 \} + T_1$ et donc la même loi que $T$ par symétrie.

Si vous avez une autre solution ou juste un commentaire pour me dire si ça vous semble faux je suis preneur .

Merci Calli (tu)

Calli a écrit:

Mes écritures "$\Bbb P_T = \Bbb P_{T_1} * \Bbb P_{T_{-1}}$" étaient là pour gagner du temps, mais ce qui compte ce sont les v.a..

Mince ! J’ai cru un moment qu’il y avait une “interprétation” de la propriété de Markov utilisant des convolutions de mesures (mesures gaussiennes ?). Bref je me suis embrouillé tout seul. :-S

Calli a écrit:

Je présume que tu voulais dire le contraire.

Oui pardon je corrige !

Merci encore pour ton aide Calli.