Brownien et temps d’arrêt
Bonjour à tous
J'essaye de calculer la loi de $T=\inf \{ t \geq T_1 \mid B_t=0 \},$ où $T_a= \inf \{ t > 0 \mid \ B_t=a \}.$
J'ai cru comprendre que la propriété de Markov impliquait que $T=T_1+T_{-1},$ avec $T_1$ et $T_{-1}$ indépendants (c'est clair dans ma tête, mais formellement, c'est plus délicat).
Maintenant, il semblerait que cette loi soit la même que celle de $T_2$ ou $4T_1$ mais je ne vois pas pourquoi.
Pourriez-vous m'aider ?
J'essaye de calculer la loi de $T=\inf \{ t \geq T_1 \mid B_t=0 \},$ où $T_a= \inf \{ t > 0 \mid \ B_t=a \}.$
J'ai cru comprendre que la propriété de Markov impliquait que $T=T_1+T_{-1},$ avec $T_1$ et $T_{-1}$ indépendants (c'est clair dans ma tête, mais formellement, c'est plus délicat).
Maintenant, il semblerait que cette loi soit la même que celle de $T_2$ ou $4T_1$ mais je ne vois pas pourquoi.
Pourriez-vous m'aider ?
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Réponses
Non mais $T_{-1}$ est déjà défini sur notre espace probabilisé, et non indépendant de $T_1$, donc c'est un peu mal dit ce que tu dis. On peut par exemple dire que $\Bbb P_T = \Bbb P_{T_1} * \Bbb P_{T_{-1}}$.
Ensuite, par symétrie, $T_{-1}$ et $T_1$ ont la même loi, donc $\Bbb P_T = \Bbb P_{T_1} * \Bbb P_{T_1}$. Vois-tu comment en déduire que $T$ a la même loi que $T_2$ ? Le truc important pour le justifier c'est la propriété de Markov forte ; donc si ça ne te paraît pas évident, il faut s'appliquer en l'appliquant.
D’accord, serait-il mieux de dire que $T$ à la même loi que $X+Y$ avec $X$ et $Y$ indépendants de même loi que $T_1$ ? Ou est ce aussi mal formulé ?
A vrai dire, j’ai du mal a voir comment utiliser la propriété de Markov forte avec des mesures de probabilités. (Et j’aimerais bien savoir, ne serait-ce que par curiosité.)
Ce que j’ai essayé de faire avec $T_1$ :
$T = \inf \{ t \geq T_1 ; B_t=0 \} = T_1 + \inf \{ t \geq 0 ; B_{t+T_1}=0 \} = T_1 + \inf \{ t \geq 0 ; B_{t+T_1} -1 =-1 \}$ qui par Markov fort a même loi que $T_1 + \inf \{ t \geq 0 ; W_t=-1 \}$ avec $W$ un mouvement brownien indépendant de $\sigma ( B_s ,\ s \leq T_1 ) $
Je ne vois pas comment faire apparaître un $T_2$ avec cette méthode. Une idée ?
Edit: J’ai finalement trouvé quelque chose :
$T_2= \inf \{ t \geq 0 ; B_t = 2 \} = \inf \{ t \geq 0 ; B_{t+T_1}-1=1 \} + T_1 $ car $T_1<T_2$ ps qui a la même loi que $\inf \{ t \geq 0 ; W_t = 1 \} + T_1$ et donc la même loi que $T$ par symétrie.
Si vous avez une autre solution ou juste un commentaire pour me dire si ça vous semble faux je suis preneur .
C'est bien formulé de cette manière. (tu)
Mes écritures "$\Bbb P_T = \Bbb P_{T_1} * \Bbb P_{T_{-1}}$" étaient là pour gagner du temps, mais ce qui compte ce sont les v.a.. Et ta justification avec la propriété de Markov forte ensuite est bonne. (tu)
Je présume que tu voulais dire le contraire.
Mince ! J’ai cru un moment qu’il y avait une “interprétation” de la propriété de Markov utilisant des convolutions de mesures (mesures gaussiennes ?). Bref je me suis embrouillé tout seul. :-S
Oui pardon je corrige !
Merci encore pour ton aide Calli.