Convergence presque sûre

mcd · June 2021

Bonjour

Si la suite $(X_{n})_{n}$ converge presque sûrement vers $0$ et que $(Y_{n})_{n}$ vérifie $Loi (Y_{n}) = Loi (X_{n}) $ alors est-ce que $(Y_{n})_{n}$ converge presque sûrement vers $0$.

Mon intuition est que la réponse est oui et mon intuition de preuve est
$$
1= P(\lim_{n} X_{n} = 0) = P(\lim_{n} Y_{n} = 0) .

$$ Toutefois, cet argument me semble dangereux car je parle de la loi d'une suite de va. Et je n'en ai pas très envie mais ai-je vraiment le choix ?

Siméon · June 2021

mcd a écrit:

Toutefois, cet argument me semble dangereux car je parle de la loi d'une suite de va. Et je n'en ai pas très envie mais ai je vraiment le choix.

C'est bien le point crucial : si les deux suites ont la même loi alors $(X_n)_{n\in\N}$ converge ps vers 0 si et seulement si $(Y_n)_{n\in\N}$ converge ps vers 0. En effet la probabilité de ces évènements ne dépend que de la loi de la suite.

Dans le cas contraire on peut seulement déduire la convergence en loi de $(Y_n)_{n\in\N}$, ce qui revient ici à une convergence en probabilité car la limite est une constante.

Voici un contre-exemple élémentaire : on considère une suite $(Z_k)_{k\geq 1}$ de v.a. indépendantes telles que : $\forall k \geq 1,\ Z_k \sim \mathscr B(\frac k{k+1})$.

En posant $X_n = Z_1\times \cdots \times Z_n$ pour tout $n \geq 1$, on a presque sûrement $(X_n)_{n\in N}$ nulle à partir d'un certain rang.
Soit par ailleurs une suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ de v.a. indépendantes telles que $Y_n \sim \mathscr B(\frac1{n+1})$ quel que soit $n\in\N$. On aura bien $\mathscr L(Y_n) = \mathscr L(X_n)$. Mais $\cup_{k\geq n} (Y_k = 1)$ est presque certain, quel que soit $n \geq 1$. Donc $P(Y_n \to 0) = 0$.

N.B. La loi de la suite $(X_n)_{n\geq 1}$, c'est-à-dire la dépendance de ces variables, est ici essentielle pour la convergence ps.

Calli · June 2021

Bonjour,
Un autre truc qu'on peut se dire pour une utilisation minimale des neurones est le suivant. "On sait" que convergence en loi n'implique pas convergence presque sûre. Soit donc une suite $(Y_n)$ de v.a. définies sur le même espace probabilisé qui convergent en loi vers une v.a. $Y$ mais pas p.s.. D'après le théorème de représentation de Skorokhod, il existe une suite $(X_n)$ de v.a. définies sur un autre espace probabilisé et $X$ définie sur le même second espace probabilisé tel que $X_n \to X$ p.s., $X\sim Y$ et $\forall n, X_n\sim Y_n$. Et ça donne un contre-exemple.

C'est juste pour utiliser les théorèmes connus sans se fatiguer. L'argument explicite de Siméon est plus satisfaisant, dans un sens.

PS: Les v.a. considérées dans ce message sont à valeurs dans $\Bbb R$.

mcd · June 2021

Wow merci pour ces réponses. Vu que je n'ai pas le choix pour pour parler de la loi d'un processus il s'agit de mettre une tribu sur $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et une mesure. Alors pour la mesure de probabilité sur cette espace j'admets tout :)o. Pour la tribu on peut considérer la tribu engendrée par les projections
$$
x \mapsto x_{i}.

$$ Et ceci étant posé on peut définir la loi d'une suite mesure image par l'application
$$
\omega \mapsto (X_{i}(\omega)_{i \in \mathbb{N}}

$$ qui est mesurable.

Et pour conclure mon problème de limite il suffit de montrer que, si les lois des $n$ premières va $(X_{0},\ldots,X_{n-1})$ et $(Y_{0},\ldots,Y_{n-1})$ sont les mêmes pour tout entier $n$ non nul alors les lois des processus sont égales aussi.

Et après c'est ok pour ma preuve donnée plus haut.

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