Calcul avec la mesure de Lebesgue

topalg
topalg
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
J'ai une petite question.

Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $B(\mathbb{R})$.
On considère l'ensemble $A=\{1/n\mid n\geqslant1 \}$. Comment montrer que $\lambda(A)=0$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ton ensemble n'a pas "beaucoup" d'éléments, peux-tu donner son cardinal ?
  • topalg
    topalg
    Non je suis incapable de donner son cardinal mais j'ai pensé à la chose suivante: si A est dénombrable alors une conséquence c'est que $\lambda$(A)=0.
  • topalg
    topalg
    Mais je n'arrive pas à déterminer que A est un ensemble dénombrable.
  • Poirot
    Poirot
    Oui, c'est la propriété à utiliser. Il faut montrer que $A$ est dénombrable, est-ce que tu en connais la définition ?
  • topalg
    topalg
    Oui, soit $E$ un ensemble. $E$ est dénombrable si et seulement si il existe une bijection de $\mathbb{N}$ sur $E$.
  • topalg
    topalg
    Quand tu as dit que mon ensemble n'avait pas "beaucoup" d'éléments j'ai cru qu'il ne pouvait pas être dénomblable.
  • Poirot
    Poirot
    Est-ce que tu ne vois pas une bijection facile à voir entre $A$ et $\mathbb N^*$ ? Il suffit de lire la définition de $A$.
  • topalg
    topalg
    Est-ce que c'est l'application

    $\mathbb{N^{*}}\to A$
    $~n~ \mapsto 1/n$
  • Poirot
    Poirot
    Tout à fait !
  • topalg
    topalg
    Merci Poirot.
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