Loi de $\inf(X_{1},X_{2})$
Bonsoir
J'aimerais savoir si ce que je comprends du corrigé est juste. En effet je ne voyais pas comment déduire la loi de $\inf(X_{1},X_{2})$ en fonction de $\sup(X_{1},X_{2})$ alors j'ai donc utilisé le procédé habituel avec les fonctions de répartition (j'ai trouvé le même résultat que le corrigé d'ailleurs).
Mais dans mon corrigé, l'auteur introduit la fonction $f$ définie par $f(x)=n+1-x$.
Ce que je comprends d'abord. C'est que si $f$ est décroissante, alors elle admet son $\max$ au point $x_{\min}$.
Alors si on considère le raisonnement de l'auteur, son interprétation est que la bonne $\sup$ de $f$ en considérant les variables aléatoires est atteinte en $\inf(X_{1},X_{2})$ et comme $\inf(X_{1},X_{2})$ est $X_{1}$ ou $X_{2}$ on a deux cas où $n+1-V$ à la plus "grande valeur".
Ainsi la plus grande valeur de $n+1-V$ est $\sup(n+1-X_{1},n+1-X_{2})$.
Est-ce bien la bonne interprétation ?
Merci d'avance.
Edit : désolé pour les erreurs d'écriture car j'écris depuis mon téléphone.
J'aimerais savoir si ce que je comprends du corrigé est juste. En effet je ne voyais pas comment déduire la loi de $\inf(X_{1},X_{2})$ en fonction de $\sup(X_{1},X_{2})$ alors j'ai donc utilisé le procédé habituel avec les fonctions de répartition (j'ai trouvé le même résultat que le corrigé d'ailleurs).
Mais dans mon corrigé, l'auteur introduit la fonction $f$ définie par $f(x)=n+1-x$.
Ce que je comprends d'abord. C'est que si $f$ est décroissante, alors elle admet son $\max$ au point $x_{\min}$.
Alors si on considère le raisonnement de l'auteur, son interprétation est que la bonne $\sup$ de $f$ en considérant les variables aléatoires est atteinte en $\inf(X_{1},X_{2})$ et comme $\inf(X_{1},X_{2})$ est $X_{1}$ ou $X_{2}$ on a deux cas où $n+1-V$ à la plus "grande valeur".
Ainsi la plus grande valeur de $n+1-V$ est $\sup(n+1-X_{1},n+1-X_{2})$.
Est-ce bien la bonne interprétation ?
Merci d'avance.
Edit : désolé pour les erreurs d'écriture car j'écris depuis mon téléphone.
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Réponses
P\big(\inf(X,Y)<a\big)&=P(X<a \cup Y<a) \\
&= P(X<a)+P(Y<a)- P(X<a \cap Y<a) \\
&= P(X<a)+P(Y<a)-P\big(\sup(X,Y)<a\big)
\end{align*}
Merci gebrane, je retrouve une fois de plus la même formule avec ce que tu as écrit.