Existence d'une sous-suite ?
Bonjour
Voila mon problème.
Soit $(X_{n})$ une suite des v.a.r positives vérifiant : $ X_{n}\nearrow \infty\quad p.s.$
A-t-on qu'il existe une sous-suite $(X_{n_{k}})$ telle que :
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{X_{n_{k}}} <\infty \quad p.s.
$$ Merci beaucoup.
Voila mon problème.
Soit $(X_{n})$ une suite des v.a.r positives vérifiant : $ X_{n}\nearrow \infty\quad p.s.$
A-t-on qu'il existe une sous-suite $(X_{n_{k}})$ telle que :
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{X_{n_{k}}} <\infty \quad p.s.
$$ Merci beaucoup.
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Réponses
Oui. On peut le faire en 3 questions intermédiaires :
Dans votre réponse la sous-suite dépend de epsilon.
Moi je cherche une sous-suite ne [qui n'en] dépend pas.
Svp, veuillez faire plus de détails comment conclure
1) clair
2) M=2^k, k=1,2,...
3) c'est la question 3) qui reste
3) on prend une extraction diagonale ?
Pour tout q il existe sous suite (nkq)k
Ensuite, on prend la suite (nqq)q
Qui répond au problème.
Est-il correct ?
Merci
Calliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.
Bon, j'en ai marre. Tu ne fais aucun effort. Bye !
désolé Calli,
pour k=1, il existe sous suite (nq(1))q
pour k=2, il existe une sous suite de (nq(1))q, notée (nq(2))q
etc,...
par récurrence on montre l'existence d'une sous suite (nk(k))k telle que:
$$ \Bbb P\Big( \sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{X_{n_{q}^{(q)}}} < \infty \Big) >1-k^{-1} $$
satisfaite pour k.
est-il OK ???
On pose $U_n=\min(1,\frac1{X_n})$.
1) Montrer que $E(U_n)\to 0$
2) Construire $n_k$ avec $E(U_{n_k})\le 2^{-k}$.
3) On pose $\Psi=\sum_{k\ge 1} U_{n_k}$. Montrer que $\Psi$ est intégrable.
4) En déduire que $P(\Psi<+\infty)=1$.
5) Conclure.