CV des proba vers CV p.s.
Bonjour
Je cherche un exemple d'une suite des événements (An) vérifiant P(An) croit vers 1,
Mais, (1An) ne converge pas p.s. vers 1.
Merci beaucoup pour l'aide
Je cherche un exemple d'une suite des événements (An) vérifiant P(An) croit vers 1,
Mais, (1An) ne converge pas p.s. vers 1.
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Réponses
$$B_n=\left\{\omega\in\left[0;1\right]~\Big|~\text{ le }n^{\text{e}}\text{ terme du développement de } \omega\text{ en base }n\text{ n'est pas le même que le }(n+1)^{\text{e}}\text{ en base }(n+1)\right\}.
$$ Ça ne fonctionne pas tel que ; l'idée est d'avoir des $A_n$ de plus en plus probables, mais avec une incompatibilité dans l'intersection de deux ensembles successifs.
puis $A=\{X_n\mid n\ge 1\}$ et $A_n=\{n\not\in A\}$.
$P(A_n)$ tend vers $1$, mais $1_{A_n}$ ne tend jamais vers $1$.
On se place sur $[0;1[$ muni de la mesure de Lebesgue. On prend $U_0=[0;1[$, $U_1=[0;1/2[$, $U_2=[1/2;1[$, $U_3=[0;1/4[$, $U_4=[1/4;1/2[$, $U_5=[1/2;3/4[$, $U_6=[3/4;1[$, $U_7=[0;1/8[$, etc.
Alors $P(U_n)$ tend vers $0$, mais $\mathbf{1}_{U_n}$ ne converge pas presque sûrement vers $0$. En prenant $A_n$ le complémentaire de $U_n$, ça doit marcher.
Je joue à pile-ou-face, le succès $A_n$ au temps $n$ ayant pour proba $p_n = 1-q_n$.
Si $p_n\to0$, alors on a $1_{A_n}\to0$ en probas.
L'événenement $[1_{A_n}\to0]$ signifie, lui, qu'on n'a qu'un nombre fini de succès.
Or, de n'avoir plus de succès après le temps $n$, ça vient avec proba $u_n = q_{n+1} \times q_{n+2} \times \dots$.
La limite croissante de ça, c'est la probabilité d'avoir un nombre fini de succès.
Donc si $u_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} = \frac{n}{2(n+2)}$, il n'y a que $50\%$ de chances de n'avoir qu'un nombre fini de succès. La convergence n'est pas presque-sûre.
Ça donne $q_n = \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac{n-1}{2(n+1)}\cdot\frac{2(n+2)}{n}\leadsto p_n = 1-q_n = \frac{2}{n(n+1)}$.
En revanche pour $u_n = 1-\frac{1}{n+1}$, là, il y a convergence presque-sûre, et il vient $q_n = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$, donc $p_n = \frac{1}{n^2}$.
Ajout : évidemment, l'exemple d'aléa ressemble plus à l'expérience mutuellement indépendante suivante :
au temps $n$, je lance le dé à $n$ faces, et j'appelle succès le fait de tomber sur $n$.
Là, il est carrément impossible d'avoir un nombre fini de succès, car pour tout $n$, on a $\frac{n}{n+1} \times \frac{n+1}{n+2}\times \dots = 0$.
C'est pour ça qu'aléa dit que $1_{A_n}$ ne converge jamais, bien qu'elle converge en probabilités.
A est un ensemble infini, qui comprend exactement
- un nombre entre 1 et 3
- un nombre entre 4 et 8
- un nombre entre 9 et 15
- un nombre entre 16 et 24
- ...
Je n'ai pas précisé la dépendance entre les différents paquets, mais on s'en fiche.
Bref, presque sûrement, $1_{A_n}$ fait presque tout le temps 1, sauf une fois par paquet où il fait 0.
La limite supérieure de $1_{A_n}$ est donc 1 et la limite inférieure $0$.
Je parle ici de limite supérieure ponctuelle (presque sûre si on veut).
On peut calculer simplement $P(X_n\ne 1)$: c'est l'inverse de la taille du paquet auquel $n$ appartient,
soit $\frac{1}{2\lfloor \sqrt{n}\rfloor+1}$, ainsi $X_n$ converge en probabilité vers 1.
Une suite de variable de Bernoulli $\epsilon_n$, c'est la même chose qu'un ensemble aléatoire $A(\omega)$ dans $\N$.
La convergence en probabilités des indicatrices est une forme de raréfaction de cet ensemble aléatoire.
La convergence de la suite des indicatrices traduit l'événement [l'ensemble $A$ est fini].
La raréfaction ne suffit pas à assurer la finitude presque-sûre, l'inverse, si.
En cas d'indépendance, une raréfaction assez rapide assure la finitude.