Limite de suite de probabilités d'évènements

Bonjour.

Que se passe-t-il si les $A_i$ sont incompatibles deux à deux ? Ou encore tous égaux ?

Cordialement.

Dans ce cas $\mathbb{P}(A_{n}\cap A_{m})=\mathbb{P}(A_{n})\times \mathbb{P}(A_{m}),$ donc en notant $a_n=\mathbb{P}(A_{n}),$ le numérateur se réécrit $\sum\limits_{1\leq n\not= m\leq N}a_n\times a_m=\Big(\sum\limits_{n=1}^{N}a_n\Big)^2-\sum\limits_{n=1}^na_n^2.$

Après simplification, le quotient est donc égal à
$$\sum\limits_{n=1}^{N}a_n-\frac{\sum_{n=1}^{N}a_n^2}{\sum_{n=1}^{N}a_n}.

$$ Après, ça dépend. Par exemple, si tous les $A_i$ sont égaux à $\Omega,$ ça fait $N-1~;$ et si $A_1=\Omega$ et si tous les autres $A_i$ sont vides, ça fait $0.$

Ah oui, je l'avais oubliée cette hypothèse ! Du coup je corrige.

Comme les $a_i$ sont entre 0 et 1, $0\leq a_n^2\leq a_n~;$ et donc $ \frac{\sum_{n=1}^{N}a_n^2}{\sum_{n=1}^{N}a_n}\leq 1.$ Il s'ensuit que la quantité qui nous intéresse est supérieure $\sum\limits_{n=1}^n a_n-1.$ On conclue alors directement.