Espérance

Géométriquement, si $Y=k$ est donné, cela signifie que le point est situé sur la droite d'équation $y=k.$
Comme $Z$ suit la loi uniforme sur le disque, un simple dessin et le théorème de Pythagore prouve que $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[-\sqrt{1-k^2};\sqrt{1-k^2}\right].$

Je n'ai plus fait ça depuis longtemps, mais il me semble évident que $E(X|Y)=0.$

De façon informelle, sachant que $Y=k$ et comme je l'ai écrit ci-dessus, $X$ suit clairement la loi uniforme sur $\left[-\sqrt{1-k^2};\sqrt{1-k^2}\right].$ Son espérance est donc nulle.

De façon plus rigoureuse, la tribu $\sigma(Y)$ est engendrée par les événements $Y\leq t.$ Il suffit donc de prouver que $E\left(X\mathbb{1}_{Y\leq t}\right)=0$ (*), ce qui se fait à l'aide d'une intégrale double(**).

Pour (*), on aura bien $E\left(X\times \mathbb{1}_{A}\right)=E\left(0\times \mathbb{1}_{A}\right)$ pour tout $A\in\sigma(Y).$

Pour (**), $E\left(X\mathbb{1}_{Y\leq t}\right)=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^t\int_{-\sqrt{1-k^2}}^{\sqrt{1-k^2}}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^t 0\mathrm{d}y=0.$

Dans ton premier message, tu dis que la probabilité est $\pi$... etc etc
Le réflexe, immédiat : Quoi ? Une probabilité, c'est une valeur entre 0 et 1, jamais un nombre plus grand que 1.