Variables indépendantes
Bonjour,
On se donne $X, Y$ deux variables aléatoires sur $\Omega$ qui prennent un nombre fini de valeurs.
Peut-on construire une variable $Y'$ de même loi que $Y$ qui est indépendante de $X$ et de $Y$ ?
Je me rends compte que je ne dispose pas d'outils pour répondre à ce genre de questions...
Merci d'avance,
Michal
On se donne $X, Y$ deux variables aléatoires sur $\Omega$ qui prennent un nombre fini de valeurs.
Peut-on construire une variable $Y'$ de même loi que $Y$ qui est indépendante de $X$ et de $Y$ ?
Je me rends compte que je ne dispose pas d'outils pour répondre à ce genre de questions...
Merci d'avance,
Michal
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Réponses
Par exemple si $\Omega=\{1,\dots,n\}$, avec $n\ge 2$, $X(\omega)=Y(\omega)=\omega$ et que $\mathbb{P}$ est la loi uniforme sur $\Omega$, la réponse est évidemment négative.
connais-tu la loi de Y ?
Si tu connais explicitement la loi L de Y (à savoir la probabilité de chaque issue, les issues étant en nombre fini), c'est facile de construire Y' de loi L et indépendante de X et Y.
Si tu ne connais pas la loi de Y, c'est une autre histoire ! Peux-tu au moins avoir des séries statistiques sur des échantillons (finis, mais aussi grands que l'on veut) suivant la loi de Y ?
PS. je n'ai pas du tout compris la ligne d' Aléa : << Par exemple si ... >>
Soit $n$ un entier naturel avec $n\ge 2$.
Je prends $\Omega=\{1,\dots,n\}$, que je munis de la tribu de ses parties, et pour $\mathbb{P}$ on prend la loi uniforme sur $\Omega$.
Je note $X$ l'application identité sur $\Omega$; $X(\omega)=\omega$. C'est une variable aléatoire.
Je dis qu'il n'existe pas de variable aléatoire $Y'$ sur $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})$ qui soit indépendante de $X$ et suive la même loi que $X$.
Pourquoi donner un exemple si bizarre pour parler simplement de la loi uniforme sur un ensemble fini ?
Michal parle de valeurs prises par ses variables aléatoires, donc je suppose qu'il est dans R , ou R^n ....
"dans son coin" ==> indépendance
On ne se comprend pas.
Pourquoi on ne peut pas avoir une variable Y' de même loi et indépendante de X ?
Et c'est bien là tout le problème: sur certains espaces on pourra trouver une variable indépendante de $X$ et de même loi, et sur d'autres, non.
Quel rapport entre la loi d'une v.a.r. et son (in)dépendance vis-à-vis de quelque autre v.a.r. que ce soit ?
Je n'arrive pas à voir.
Détaillons l'exemple d'aléa sur un cas trivial. Je considère le lancer d'une pièce.
Mon ensemble est $\Omega = \{ P, F\}$, la probabilité associée est
$\mathbb{P}(P) = 0.5$, $\mathbb{P}(F) = 0.5$.
Sur cet ensemble probabilisé je construis la v.a. $X(P)=1$ et $X(F)=0$.
Il s'agit d'une v.a. qui suis une loi de Bernoulli de paramètre $0.5$.
Sur cet ensemble il n'y a que deux variables aléatoires qui suivent une Bernoulli : X et Y = 1-X.
Et elles ne sont pas indépendantes.
P.S: il n'est par exemple pas tout a fait évident qu'il existe une suite de Bernoulli i.i.d. Pour le justifier il faut
prendre un $\Omega$ suffisamment gros...