Une inégalité
Salut à tous.
J'ai besoin d'indications en cette question
Soit $f: \mathbb{R}^k \rightarrow [0, +\infty[$ borélienne bornée, $X_1,X_2,.., X_n$ des variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbb{E}[X_k] = 0$ et $Var(X_k) <+ \infty$ pour tout $k=1, 2, ...,n$. On pose $S_n = X_1 + X_2 + X_n$. Montrer que $$\mathbb{E}[f(X_1, X_2, ..., X_k)S_n^2] \geq \mathbb{E}[f(X_1, X_2, ..., X_k)S_k^2] \quad \forall k<n.$$
J'ai besoin d'indications en cette question
Soit $f: \mathbb{R}^k \rightarrow [0, +\infty[$ borélienne bornée, $X_1,X_2,.., X_n$ des variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbb{E}[X_k] = 0$ et $Var(X_k) <+ \infty$ pour tout $k=1, 2, ...,n$. On pose $S_n = X_1 + X_2 + X_n$. Montrer que $$\mathbb{E}[f(X_1, X_2, ..., X_k)S_n^2] \geq \mathbb{E}[f(X_1, X_2, ..., X_k)S_k^2] \quad \forall k<n.$$
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Réponses
On note $Y=X_3+X_4.$ La v.a. $Y$ est indépendante de $(X_1,X_2)$ et d'espérance nulle. On a donc
\begin{align*}
E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2+X_3+X_4)^2\right)&=E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2+Y)^2\right)\\
&=E\left(f(X_1,X_2)((X_1+X_2)^2+Y^2+2(X_1+X_2)Y)\right) \\
&=E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2)^2\right)+E\left(f(X_1,X_2)Y^2\right)+2E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2)Y\right).
\end{align*} Or $E\left(f(X_1,X_2)Y^2\right)\geq 0$ car $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}_+$ et $E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2)Y\right)=E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2)\right)\times E(Y)=0$ par indépendance.
Par conséquent
$$E\left(f(X_1,X_2)(X_1+X_2+X_3+X_4)^2\right)\geq E\left(f(X_1,X_2)((X_1+X_2)^2\right).$$