Simulation
Bonjour,
J'ai une densité produit, disons $f(x,y,z) = f_1(x)f_1(y)f_1(z)$, où $f_1$ est la densité d'une loi "standard" (une logistique dans mon cas). J'ai une matrice $A$ de taille $3 \times 2$ et un vecteur $b$ de longueur $3$. Je veux simuler la loi sur $\R^2$ dont la densité est proportionnelle à $(u,v) \mapsto f\bigl(A\cdot(u,v) + b\bigr)$. Quelle méthode pourrais-je utiliser ?
J'ai une densité produit, disons $f(x,y,z) = f_1(x)f_1(y)f_1(z)$, où $f_1$ est la densité d'une loi "standard" (une logistique dans mon cas). J'ai une matrice $A$ de taille $3 \times 2$ et un vecteur $b$ de longueur $3$. Je veux simuler la loi sur $\R^2$ dont la densité est proportionnelle à $(u,v) \mapsto f\bigl(A\cdot(u,v) + b\bigr)$. Quelle méthode pourrais-je utiliser ?
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Réponses
Aussi, je ne sais pas si ça change quelque chose, mais ses deux colonnes sont orthogonales et chacune d'elles est normalisée.
Le truc que je t'ai envoyé en privé me semble louche, ça passe bizarrement d'une intégrale sur $\R^3$ à un intégrale sur $\R^2$.
Je viens de comprendre je crois: on simule un long échantillon et on fait un tirage multinomial dedans.
Auriez-vous une suggestion pour la loi instrumentale ("proposal distribution") qu'on pourrait utiliser ?
J'essaye de le faire avec échantillonnage préférentiel, mais il faut une loi instrumentale pour cela, et je ne sais pas quoi prendre.
En théorie donc tu travailles avec la loi conditionnelle de $M=(X,Y,Z)$ sachant que $M$ appartient au plan affine $P=\{u\alpha+v\beta+b\mid u,v\in \R^2\}.$ Le vecteur $M$ est dans $P$ si et seulement si $M-b$ est dans le plan vectoriel $P_0=\{u\alpha+v\beta\mid u,v\in \R^2\}$ dont tu dis d'ailleurs que $\alpha,\beta$ sont orthonormaux. Soit $\gamma$ le vecteur tel que $(\alpha,\beta,\gamma)$ soit orthonormale (directe ? pas important ici). Le conditionnement est donc l'événement $A$ égal à $\langle \frac{M-b}{\|M-b\|},\gamma\rangle=0.$ Pour simuler avec un conditionnement par un événement de probabilité zéro, on approche celui-ci par un événement de probabilité petite, par exemple $A_{\epsilon}$ défini par $$\langle \frac{M-b}{\|M-b\|},\gamma\rangle^2\leq \epsilon.$$ Après cela tu simules un grand nombre de $M_n$, tu ne gardes que ceux qui tombent dans $A_{\epsilon}.$ Tu as encore besoin des bons $M_n$ pour calculer $$u_n=\langle M_n-b,\alpha\rangle,\ v_n=\langle M_n-b,\beta\rangle.
$$ Si tu n'es pas content du résultat, tu rétrécis $\epsilon$ mais cela prendra plus de temps machine.
J'espere que c'est faisable, car ce sont les propos de quelqu'un qui a fait peu de simulations.
Edit :
Un autre choix pour l'evenement approximant $A_{\epsilon}$ est que le carre de la distance de $M-b$ au plan $P_0$ soit petit, c'est-a-dire
$$\|M-b\|^2-\langle \alpha,M-b\rangle^2-\langle \beta,M-b\rangle^2\leq \epsilon.$$ Pour $M=M_n$ cela utilise les $u_n,v_n$ ci dessus dont on aura de toute facon besoin si $M_n$ est retenu.
C'est une piste à explorer.
Si maintenant $A$ est de taille $4 \times 2$, pour le premier événement $A_\epsilon$, dois-je prendre ceci:
$$\left\langle \frac{M-b}{\|M-b\|},\gamma_1\right\rangle^2 + \left\langle \frac{M-b}{\|M-b\|},\gamma_2\right\rangle^2 \leq \epsilon,$$
où $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont deux colonnes qui complètement $(\alpha,\beta)$ en une base orthonormée ?
Je vous tiens au courant, faut que j'investigue tout ça.
C'est avec UNU.RAN que je simule directement la loi conditionnelle. Cette librairie est terrifique.
$$\sum_{i=1}^3 \alpha_i W_i=\sum_{i=1}^3 \beta_i W_i=0$$ avec $W_i=\tanh( (\alpha_iu+\beta_i v+ b_i)/2).$ Cad qu'il faut trouver $\lambda$ tel que $\gamma=\lambda W$ ou encore
$u\alpha_i+v\beta_i=c_i$ avec
$$c_i=-b_i+\mathrm{argth}\frac{\gamma}{\lambda }=-b_i+\log \frac{\lambda+\gamma_i}{\lambda-\gamma_i}.$$ Un tel couple $(u,v)$ n'existe que si $\det (\alpha,\beta,c)=0.$ Cela donne une horrible equation en $\lambda,$ mais dont la solution numerique permet de calculer $(u,v).$
Pour info, la librairie UNU.RAN qui simule ma loi utilise la méthode "ratio of uniforms", qui est présentée ici. Très bonne alternative à ces laborieux MCMC.