Jeu de ballons

Bonjour,

je cherche à résoudre cet exercice proposé sur le site de Michel Quercia :

Cinq personnes se trouvent autour d’une table ronde. Au départ, deux voisins possèdent chacun un ballon. A chaque tour, le possesseur d’un ballon le transmet à son voisin de droite ou de gauche, de manière équiprobable. Étudier la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de tours avant que les deux ballons se retrouvent dans les bras d’une même personne (on pourra étudier la distance entre les deux ballons).

Je note $D_n$ la distance entre les deux ballons après n tours. On a donc $D_0=1$ et les variables $D_n$ sont à valeurs dans $\{0,1,2\}$. Lors du tour 1, chaque possesseur de ballon peut transmettre son ballon à gauche ou à droite (je suppose évidemment que ce choix se fait de manière équiprobable et indépendante) et en énumérant les 4 cas possibles, je trouve $p(D_1=1)=3/4$ et $p(D_1=2)=1/4$. Ensuite, je dois pouvoir récupérer la loi de la va $D_{n+1}$ en conditionnant par $D_n$ et si je sais résoudre la relation de récurrence, j'aurai la loi de $D_n$.

Mais ensuite, je veux récupérer la loi de $X$, qui est à valeurs dans $\{2,3,4,...\}$. Et je me trouve dans l'évènement $(X=k)$ si on est dans $(D_i \neq 0)$ pour tout $i <k$ et $D_k=0$. Le problème, c'est que mes $D_n$ ne sont pas indépendants et je ne vois pas comment utiliser ma loi de $D_n$ pour aboutir à la loi de $X$.

J'ai tenté de suivre la correction de Michel Quercia que je reproduis (en tout cas jusqu'à mon point de blocage) :
"On ajoute les hypothèses d’indépendance mutuelle qui s’imposent et on note $d_k \in \{0,1,2\}$ la distance
entre les ballons après $k$ tours ($d_0 = 1$)." -> OK, même chose que ce que j'avais fait
"$X$ est le nombre de tours nécessaires pour passer de l’état $\{d_0=1\}$ à l’état $\{d_0=0\}$" -> pas sûr de comprendre puisqu'on a $d_0=1$
"on note Y le nombre correspondant si l’on était parti de l’état $\{d_0=2\}$" : OK
"$p(X = n) =1/2 p(X = n - 1) +1/2p(Y=n-1)$ et $p(Y=n)=1/2p(Y=n-1)+1/4p(X=n-1)+\delta_{n,1}$" -> ?? je ne sais pas du tout comment il obtient ça.

Ensuite, il passe aux fonctions génératrices et ça m'a l'air d'aller.