Maximum pour une loi binomiale

Youss20 · September 2020

Bonsoir. Svp j'ai besoin d'aide pour la 2ème question, je ne fais que me perdre dans des calculs fastidieux. Sinon pour la 1ère je trouve que k demandé est np-1-p est ce juste? Merci. 108938

Youss20 · September 2020

Une correction de ce que j'avais dit: k=partie entière(np-p-1)

lourrran · September 2020

Quand tu fais des calculs, et que tu n'es pas totalement sûr du résultat, une astuce, c'est de vérifier avec quelques valeurs particulières.
Par exemple, si p=0.99999999999999999, ou si p=0.00000000000000000001, ou p=1/2, est-ce que ton résultat te semble correct ?

Par ailleurs, je pense que la question n'est pas seulement de trouver la valeur de k 'max', mais de trouver la probabilité correspondant à cette valeur de k.

Youss20 · September 2020

Oui effectivement, mais je crois que mon premier résultat est juste. C'est surtout sur la 2ème question que j'ai un problème.

lourrran · September 2020

Donc si p est très proche de 0, et k vaut 10 par exemple, tu confirmes que la bonne valeur est k=-1 ? Et si p est très proche de 1, et n toujours égal à 10, tu confirmes que la bonne valeur est k=7 ?

Pour la 2ème question, je vais donner plus ou moins le même conseil : la 1ère étape, c'est de deviner le résultat; on te demande de comparer 2 valeurs f(n) et f(n+1), on te demande donc si f(n)>f(n+1) ou f(n)<(n+1). La première étape, c'est donc de 'deviner' le résultat.
Pour ça, tu peux évaluer f(2) par exemple, et f(1000000) ; ça ne donnera pas la réponse finale, rien de dit que la fonction f est monotone, mais ça te donnera des pistes.

P. · September 2020

Pour la seconde question on suppose que $k$ est un entier. On a vu à la première question que $\Pr(X=i)\leq \Pr(X=n)$ pour tout $i=0,1,\ldots,n.$ Soit $Z\sim \mathcal{B}(k,1/k)$ indépendante de $X$. Notons que $1=\mathbb{E}(Z)=\sum_{i=0}^{\infty}\Pr(Z\geq i+1).$ Alors $Y\sim X+Z$ et
\begin{align*}
\Pr(Y\geq n+1)&=\Pr(X+Z\geq n+1)=\Pr(X\geq n+1)+\sum_{i=0}^{n}\Pr(X=n-i)\Pr(Z\geq i+1)\\
&\leq \Pr(X\geq n+1)+\Pr(X=n)\sum_{i=0}^{n}\Pr(Z\geq i+1)\\
&\leq \Pr(X\geq n+1)+\Pr(X=n)\sum_{i=0}^{\infty}\Pr(Z\geq i+1)=\Pr(X\geq n).
\end{align*}

Siméon · September 2020

Jolie solution P ! (tu)

P. · September 2020

Encore meilleur a lire quand cela vient d'un connaisseur. Merci Simeon.

Maximum pour une loi binomiale

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 34