Équations différentielles stochastiques

zoya · August 2020

Bonjour à tous
Je rencontre un souci avec l'équation différentielle stochastique suivante. $$
dX_t = (c+ \alpha ^2/2)X_tdt + \alpha X_t dW_t,\quad X_0=1,
$$ avec $\alpha, c \in \R$ et $W_t$ un mouvement brownien réel.
On me la donne telle quelle et on me demande de la résoudre...
Je connais la formule d'Itô mais je n'ai pas d'exemple de résolution d'EDS donc je ne sais par où commencer. Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil, merci.

sevaus · August 2020

Tu peux appliquer (formellement car tu ne connais pas le signe de $X$) Itô à $\ln(X_t)$ dans un premier temps

Romyna · August 2020

Bonjour, à tou.te.s
En forme de rappel :

zoya a écrit:

$$
dX_t = (c+ \alpha ^2/2)X_tdt + \alpha X_t
dW_t,\quad X_0=1,
$$ avec $\alpha, c \in \R$ et $W_t$ un mouvement brownien réel.

N'a-t-on pas un processus d'Itô en différentiel ?
$$dXt = Kt dt + Ht dWt

$$ Confer le fichier en pièce jointe également ici.
Même sans le contexte, indexez par mots-clé !
Bonne continuation.

[Inutile d'agrandir la police. AD]

zoya · August 2020

Bonsoir Sevaus

Je trouve effectivement la bonne réponse en utilisant $\ln X_t$ mais c'est bien cela mon souci, dans mon cours il est écrit que la fonction $f:[0,T] \times \R^n \rightarrow \R$ que j'utilise, ici $f=\ln x$, doit être $C^2(\R \times \R^n,\R)$. Or la fonction $\ln$ n'est pas définie sur $\R^{-}$...
Quand tu dis l'utiliser 'formellement' qu'entends tu par là s'il te plaît ? Merci :-)

zoya · August 2020

Bonsoir Romyna,

Merci pour le cours en pièce jointe, il me sera utile pour compléter mon cours.
Bonne soirée

zoya · August 2020

J'ai 2 autres équations :
$dX_t = f(t)X_tdt + g(t)dW_t$, $X_0=1$, $f:R \rightarrow R$ et $g:R \rightarrow R$ des fonctions continues bornées.
Et
$dX_t=- \frac{X_t}{1-t} dt + dW_t$, $0 \leq t\leq 1$, $X_0=0$ Comment s'appelle ce processus?

Voilà, je suis en M2 math à distance et je n'ai pas beaucoup d'infos, pas d'exemple sur lequel m'appuyer pour résoudre ce type d'équations.Merci

sevaus · August 2020

En fait pour que la formule d’Itô s’applique il suffit que $f(X_t)$ soit (presque sûrement) défini.

Je dis formellement car a priori rien ne garantit que $X_t$ soit strictement positif pour pouvoir consider son logarithme; une preuve rigoureuse serait d’appeler $Y_t$ le processus solution et de montrer que que $X_t/Y_t = 1$ ce qui peut se faire en appliquant la formule d’intégration par parties (un corollaire d’Itô).

Pour ta seconde question je ne sais pas comment s’appelle ce processus mais si tu cherches à résoudre l’EDS tu dois pouvoir t’en sortir en adaptant la méthode déterministe de variation de la constante.

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