Processus à moyennes connues
Bonjour à tous. En cet été caniculaire, je me suis intéressé à un processus itératif T déterministe. Ce processus comporte une réalisation pour chaque entier naturel n, dont l'issue résiste malheureusement à toute prédiction. Si on note T(k,n) l'itération de rang k de la réalisation correspondant à l'entier n, ce processus vérifie une propriété remarquable de périodicité en n: T(k,n+2^k)=T(k,n).
Du coup j'ai calculé la moyenne de ce processus à chaque itération k pour n entre 0 et 2^k-1. Et il se trouve qu'à chaque itération k, la moyenne arithmétique est constante et unitaire, tandis que la moyenne géométrique décroit exponentiellement avec k.
Je ne sais comment interpréter ce résultat. Peut-on en déduire un comportement des réalisations à l'infini ? en particulier, peut-on affirmer que les réalisations ont toutes une limite nulle ?
Et que peut-on dire d'un processus aléatoire X(k,n) qui aurait ces mêmes propriétés ? peut-on en déduire une convergence (en loi, probabilité, moyenne) ?
Je vous remercie d'avance pour vos lumières et réflexions.
Du coup j'ai calculé la moyenne de ce processus à chaque itération k pour n entre 0 et 2^k-1. Et il se trouve qu'à chaque itération k, la moyenne arithmétique est constante et unitaire, tandis que la moyenne géométrique décroit exponentiellement avec k.
Je ne sais comment interpréter ce résultat. Peut-on en déduire un comportement des réalisations à l'infini ? en particulier, peut-on affirmer que les réalisations ont toutes une limite nulle ?
Et que peut-on dire d'un processus aléatoire X(k,n) qui aurait ces mêmes propriétés ? peut-on en déduire une convergence (en loi, probabilité, moyenne) ?
Je vous remercie d'avance pour vos lumières et réflexions.
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Réponses
Rien que ce constat s'avère déterministe avec les limites s'il est toutefois avéré.