Fonction génératrice
Bonjour,
j'ai consulté de nombreux ouvrages et documents sur internet mais je n'arrive pas à avoir la justification rigoureuse et détaillée qu'une fonction génératrice a un rayon de convergence $R \geq 1$.
Je pars de la définition suivante de fonction génératrice d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ : $$
G_{X}(s)= \sum_{n\in \mathbb{N}} P(X=n)s^{n},\quad s \in [0 ; 1].
$$ Cette question semblant peut-être évidente, et je ne l'ai pas trouvée justifiée rigoureusement (dans les documents consultés).
N'étant pas très à l'aise avec les séries entières, quel(s) est/sont le(s) résultat(s) utilisé(s) ?
Si vous pouviez être très précis s'il vous plaît, même si cela vous paraît trivial ? J'ai un blocage épistémologique sur cette notion, et je n'arrive pas à avancer dans ma compréhension. Ce qui est décourageant.
Par avance, merci.
j'ai consulté de nombreux ouvrages et documents sur internet mais je n'arrive pas à avoir la justification rigoureuse et détaillée qu'une fonction génératrice a un rayon de convergence $R \geq 1$.
Je pars de la définition suivante de fonction génératrice d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ : $$
G_{X}(s)= \sum_{n\in \mathbb{N}} P(X=n)s^{n},\quad s \in [0 ; 1].
$$ Cette question semblant peut-être évidente, et je ne l'ai pas trouvée justifiée rigoureusement (dans les documents consultés).
N'étant pas très à l'aise avec les séries entières, quel(s) est/sont le(s) résultat(s) utilisé(s) ?
Si vous pouviez être très précis s'il vous plaît, même si cela vous paraît trivial ? J'ai un blocage épistémologique sur cette notion, et je n'arrive pas à avancer dans ma compréhension. Ce qui est décourageant.
Par avance, merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Parmi les nombreuses caractérisations du rayon de convergence $R$ d'une série entière $\displaystyle \sum _{n\geqslant 0} a_n z^n$, figure celle-ci:
$$ \mathcal E:= \Big\{ \rho \in \R^+\mid \: \{|a_n |\rho ^n \mid n\in \N\}\:\text{ est borné}\Big\}.\quad\text{Alors}\:\:\boxed{R:=\sup \mathcal E.}$$
$\forall n \in \N,\quad 0\leqslant \mathbb P[X=n] \leqslant 1,\:\:\quad 0\leqslant \mathbb P[X=n] 1 ^n \leqslant 1,\quad 1 \in \mathcal E,\:\:$ donc $R\geqslant 1.$
Rappel:
Soit$(a_n)_{n\in\N} \in \C^{\N}$. Alors il existe un unique $R\in\R\cup \{+\infty\}$, appelé "rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n" $, tel que:
$\forall z \in \C:\qquad |z|<R \implies \sum_{n\geqslant 0} a_nz^n \: \text {converge},\quad |z|>R \implies \sum_{n\geqslant 0} a_nz^n \: \text {diverge}.$
$R = \sup \mathcal E_1\:\:\text{où}\:\:\mathcal E_1= \Big\{ \rho \in \R^+\mid \: \{|a_n |\rho ^n \mid n\in \N\}\:\text{ est borné}\Big\}.$
$R = \sup \mathcal E_2\:\:\text{où}\:\:\mathcal E_2= \Big\{ \rho \in \R^+\mid \: \displaystyle \lim _{n \to + \infty}a_n \rho ^n =0 \Big\}.$
$R = \sup \mathcal E_3\:\:\text{où}\:\:\mathcal E_3= \Big\{ \rho \in \R^+\mid \: \displaystyle \sum _{n \geqslant 0}|a_n |\rho ^n \:\text{converge} \Big\}.$
$R = \dfrac 1{\displaystyle \limsup_{n\to+ \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.$
Ce n'est pas la compréhension du cadre probabiliste qui me bloque, mais celui des séries entières.
@LOU16 : l'argument que je vois souvent mis en avant est celui-ci : $\sum_{n\in \mathbb{N}} P(X=n) = 1$ (car l'espace sur lequel on travaille est discret et que l'on a une mesure de probabilité).
Pourquoi est-il suffisant pour conclure ?
J' en ai choisi une très simple qui donne immédiatement la réponse à ta question, mais elle semble ne pas te plaire.
Je dois donc connaître ta définition de $R$ pour que je sois capable de donner une justification qui te convienne à l'argument que tu indiques .
Pourquoi R n'est pas égal à 1 (au lieu de R $\geq 1$), sachant que s est dans l'intervalle [0;1] ?
Il y a quelque chose qui m'échappe. J'ai l'impression que cela n'a pas de sens de parler de cette série pour des valeurs de R (ou de s) > 1.
justement c'est ce qui me pose problème. Je suis en train de travailler sur des cours de probabilités, et j'aborde la notion de fonction génératrice. Celle-ci ne me pose aucun problème de compréhension, et j'ai bien compris son utilité.
Cependant, c'est cette intrusion des séries entières qui me pose problème. Il n'y a aucun rappel, le résultat est donné comme étant trivial. Et comme tu le soulignes très bien, il y a une apparemment plusieurs chemins à prendre.
Et tu pointes bien la difficulté, je ne sais pas quelle définition est utilisée, et quelles sont les propriétés invoquées.
En pièce jointe, voici ce qu'indique mon support de cours, sans autre indication (je fais cela pour le plaisir).
Je comprends que le rayon de convergence est infini pour la série que tu décris, si s est un réel quelconque.
Cependant s est dans [0;1]. Si je ne me trompe pas, on a bien GX(s) = 1, pour s dans [0;1].
Il y a vraiment quelque chose qui m'échappe.
Cf. ceci.
Cordialement,
Thierry
Rieveld m'a demandé en MP si on pouvait avoir un rayon de convergence $2$, on va faire mieux en montrant que l'on peut avoir n'importe quel rayon de convergence $R \geq 1$ : on considère une variable aléatoire $X$ telle que $\mathbb P(X=n) = \left(1 - \frac{1}{R}\right) \frac{1}{R^n}$ (vérifier que cela définit bien une variable aléatoire sur $\mathbb N$) et il est immédiat que le rayon de convergence de la série entière $\sum_n \left(\frac{s}{R}\right)^n$ est exactement $R$, série qui, à une constante près, est la série génératrice de $X$.
Cette loi de Poisson est en effet beaucoup plus parlante : dans le cours que je consulte, la définition me laissait penser qu'une fonction génératrice n'était définie que sur [0;1], alors que s peut être un réel quelconque ?
Est-ce bien cela ?
Quand je consulte cette définition ici (par exemple) : http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./f/fonctiongeneratrice.html, il n'est pas de restriction pour certaines valeurs de s.
Quand vous regardez la définition que je vous aie mise au dessus en photo, il y a la restriction $s \in [0 ; 1]$.
Car pour moi, il n'était donc pas envisageable de pousser l'étude de la convergence de la série génératrice au-delà de R = 1.
Mon raisonnement était le suivant : "si s est dans [0;1], alors le rayon de convergence R = 1".
Cela n'avait pas de sens de regarder au-delà de R = 1.
L'exemple de la loi de Poisson est plus éclairant.
Justement, ce n'est pas un raisonnement. Si j'étudie la fonction sinus sur $[0, \pi]$, ça ne veut pas dire qu'elle n'est pas définie ailleurs !
A la suite de ceci, clairement, par définition de $R$,\[0\leqslant{}R<1\Rightarrow1\not\in\mathcal{E}\]de sorte que, par contraposition,\[1\in\mathcal{E}\Rightarrow{}R\geqslant1\qquad(\star)\]Or,\[G_{\text{X}}(1)=\sum_{n\in\N}\mathbb{P}\left\{\text{X}=n\right\}=1\]ce qui nous donne que $1\in\mathcal{E}$, et donc que $R\geqslant1$ par la même occasion, compte-tenu de $(\star)$. En toute généralité, l'on ne peut rien dire de plus sur $R$.
Cordialement,
Thierry
C'était le raisonnement que j'avais réussi à faire et à exposer à LOU16 par MP (enfin, je l'ai exprimé de manière moins rigoureuse), mais c'était l'idée que dès qu'on trouve un s0 pour lequel la série GX(s) converge alors on a deux informations :
* pour toutes les valeurs de s $\leq$ s0, la série GX(s) converge aussi.
* le rayon de convergence R de la série est supérieur ou égal à ce s0.
Si je suis dans le vrai, j'ai une remarque qui me vient immédiatement à l'esprit : est-ce donc vraiment utile d'utiliser des critères tels que D'Alembert ou Cauchy (c'est la première chose qu'on apprend à des étudiants, avant de travailler sur le sens des définitions), alors qu'il suffirait :
1) d'intuiter la valeur R du rayon de convergence, et de montrer que la série converge pour cette valeur R (je suis d'accord, ce n'est pas toujours facile, mais dans les exercices proposés il y a beaucoup de choses qui reviennent, nous sommes pas dans un cadre de cherche mais un cadre pédagogique).
2) montrer que la série ne converge pas pour des valeurs supérieures à R (en montrant que le terme général de la série entière ne converge pas par exemple).
Je dis bien que ce n'est pas toujours applicable ou facilement utilisable, mais pourquoi ne serait-ce pas la méthode numéro 1 à enseigner ?
Au lieu de proposer un D'Alembert automatique et sécurisant où l'on perd le sens de ce qu'est un rayon de convergence, car il fournit celui-ci directement (sauf cas particulier) ?
Je me demande s'il ne vaut mieux pas, pour déterminer un rayon de convergence, travailler sur le sens, plutôt que la méthode ?
Avec la notion de fonction génératrice, je pense avoir trouver une entrée qui me permet de mieux cerner ce qu'est une série entière.
PS : J'ai bien conscience que l'on n'a pas trouvé de rayon de convergence ici, mais on a obtenu des informations intéressantes sur ce rayon de convergence.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Les calculs ne posent pas de problèmes.
On peut malheureusement réaliser des calculs corrects sans mettre du sens à ce que l'on fait.
C'est pour cela que j'avais plutôt placé cette discussion dans la rubrique Analyse, c'est plus l'emploi des séries entières que je pointais, plutôt que le contexte probabiliste.
J'ai pas encore compris cette caractérisation. Je prends $\rho = 1$ et $a_n = 1\,\forall\, n$ alors $\sum_{n\geq 0} 1 = \infty$.
Une explication s'il vous plait.
Cordialement.