Décoréllation implique indépendance

Féfé
Féfé
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je sollicite votre aide sur un problème que je n'arrive pas à résoudre...

Ma question est de savoir quelles sont les variables aléatoires $X , Y$ qui satisfont la propriété suivante : (*) $\mathrm{Corr}(X,Y)=0 \Longrightarrow X \perp \!\!\! \perp Y$

Bien entendu, dans le cas gaussien cela marche, et je sais le prouver, en fait ma question est : existe-t-il des variables non gaussiennes pour qui les notions d'orthogonalité et d'indépendance se confondent ? Car je voudrais savoir si le théorème de Cochran pourrait s'appliquer à des vecteurs non gaussiens.

J'ai eu l'idée de taper sur la fonction caractéristique d'une variable qui vérifierait (*) pour in fine me ramener à celle d'une gaussienne mais sans succès...

Merci par avance pour vos retours :)

Réponses

  • bisam
    bisam
    Il y a un gros problème de quantification dans ta question.
    Telle que tu l'as posée, on peut te répondre que n'importe quel couple de variables aléatoires indépendantes vérifie ta condition. Mais je ne pense pas que ce soit ce que tu recherches.

    Je pense en fait que tu t'intéresses aux lois des variables aléatoires en question... mais je ne suis pas dans ta tête !
  • Féfé
    Féfé
    Oui pardon c'est vrai que c'était un peu confus.

    Je voudrais donc savoir quelles sont les lois de variables aléatoires X et Y (autres que gaussiennes) pour qui la décorrélation est une condition suffisante à l'indépendance. Hormis le cas trivial ou la réponse est toutes les lois pourvu que X et Y soient indépendantes.
  • Calli
    Calli
    Salut,
    Les va de Rademacher vérifient ce que tu demandes.
  • Féfé
    Féfé
    En effet, mais on peut voir les va de Rademacher comme une combinaisons de deux gaussiennes de variances nulle (deux [large]D[/large]irac en fait) n'est-ce pas ?
    Y a-t-il des va "radicalement" différentes des gaussiennes qui vérifient la propriété selon vous ?

    [Paul Dirac (1902-1984) prend toujours une majuscule. AD]
  • Calli
    Calli
    T'exagères là. Autant dire que n'importe quelle v.a. discrète "ressemble à une gaussienne" parce que c'est une somme de Dirac.
  • Féfé
    Féfé
    Dans le sens ou une Dirac ressemble à une gaussienne de variance nulle

    Dans ce cas comment peut on prouver que seuls le variables gaussiennes de variances strictement positives et des combinaisons de Dirac (par ex Rademacher) vérifient notre propriété ? Comment prouver qu'il ne peut en exister d'autre tel est ma question !
  • Calli
    Calli
    Féfé a écrit:
    Ma question est de savoir quelles sont les variables aléatoires $X , Y$ qui satisfont la propriété suivante : (*) $\mathrm{Corr}(X,Y)=0 \Longrightarrow X \perp \!\!\! \perp Y$

    Bien entendu, dans le cas gaussien cela marche, et je sais le prouver

    Pourquoi ça marche dans le cas gaussien ? J'ai l'impression que si on prend $X\sim {\cal N}(0,1)$, $\varepsilon$ une variable de Rademacher indépendante de $X$ et $Y=\varepsilon X$, alors $X$ et $Y$ sont des gaussiennes non indépendantes de covariance nulle. Je me trompe ?
  • noobey
    noobey
    En effet, il faut faire gaffe. C'est dans le cas "vecteur gaussien" que ça fonctionne.
  • Féfé
    Féfé
    Oulah oui en effet pardon la propriété décorrélation implique indépendance est vrai dans le cas des vecteurs gaussiens, sachant qu'on définit ces derniers en demandant par exemple que toutes combinaisons linéaires des composantes d'un vecteur gaussien suivent une loi normale.

    Donc en particulier chaque composante d'une vecteur aléatoire gaussien est une v.a.réelle gaussienne mais comme tu le soulignais la réciproque n'est pas vrai...

    Donc je reformule (correctement cette fois-ci j’espère !) une nouvelle fois ma question.

    Les vecteurs aléatoires gaussiens (éventuellement de matrice de covariance nulle) sont-ils les seuls à vérifier la propriété :

    décorrélation entre les composantes du vecteur (simplement deux à deux) $\ \Longrightarrow\ $ indépendance (mutuelle) des composantes du vecteur.
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