Additivité de la longueur
Bonjour,
Soit $\mathcal{A}$ le semi-anneau constitué des intervalles $]a,b]$, $a \leqslant b$. On définit $\ell \colon \mathcal{A} \to [0, +\infty[$ par $\ell\bigl(]a,b]\bigr) = b-a$.
Soit $\mathcal{I} = \bigl\{]a_i,b_i]\bigr\}_{i=1}^n$ une famille finie d'intervalles dans $\mathcal{A}$ telle que $\bigcup \mathcal{I} \in \mathcal{A}$, i.e. $\bigcup_{i=1}^n ]a_i,b_i] = ]a,b]$ où $a \leqslant b$.
Il s'agit de démontrer que $\ell\bigl(]a,b]\bigr) = \sum_{i=1}^n \ell\bigl(]a_i,b_i]\bigr)$.
On voit bien qu'il y a un réarrangement (une permutation) $\sigma$ des indices tel que $a = a_{\sigma(1)} \leqslant b_{\sigma(1)} = a_{\sigma(2)} \leqslant \cdots \leqslant b_{\sigma(n)} = b$, ce dont on déduit aisément l'égalité en question. On le "voit" sur un dessin, mais comment démontrer proprement qu'il y a un tel réarrangement ? Dans tous les livres ou autres documents que j'ai trouvés à ce propos, les auteurs ne le démontrent pas, ils font un "on voit bien que". Je n'arrive pas à le démontrer sans faire de "on voit bien que" et sans que ça ne soit trop lourd.
Soit $\mathcal{A}$ le semi-anneau constitué des intervalles $]a,b]$, $a \leqslant b$. On définit $\ell \colon \mathcal{A} \to [0, +\infty[$ par $\ell\bigl(]a,b]\bigr) = b-a$.
Soit $\mathcal{I} = \bigl\{]a_i,b_i]\bigr\}_{i=1}^n$ une famille finie d'intervalles dans $\mathcal{A}$ telle que $\bigcup \mathcal{I} \in \mathcal{A}$, i.e. $\bigcup_{i=1}^n ]a_i,b_i] = ]a,b]$ où $a \leqslant b$.
Il s'agit de démontrer que $\ell\bigl(]a,b]\bigr) = \sum_{i=1}^n \ell\bigl(]a_i,b_i]\bigr)$.
On voit bien qu'il y a un réarrangement (une permutation) $\sigma$ des indices tel que $a = a_{\sigma(1)} \leqslant b_{\sigma(1)} = a_{\sigma(2)} \leqslant \cdots \leqslant b_{\sigma(n)} = b$, ce dont on déduit aisément l'égalité en question. On le "voit" sur un dessin, mais comment démontrer proprement qu'il y a un tel réarrangement ? Dans tous les livres ou autres documents que j'ai trouvés à ce propos, les auteurs ne le démontrent pas, ils font un "on voit bien que". Je n'arrive pas à le démontrer sans faire de "on voit bien que" et sans que ça ne soit trop lourd.
Réponses
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J'ai trouvé ça. Ça me semble pas mal comme démarche.
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Bonjour,
Je pense qu'une récurrence sur $n$ doit marcher. Et trouver $i_1$ tel que $b_{i_1}=b$ au lieu de $a_{i_1}=a$ me semble légèrement plus commode pour l'hérédité. Au passage, ce serait bien de préciser que les intervalles sont disjoints. :)o -
Qu'est-ce qu'un semi-anneau ?
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Ah oui j'ai oublié disjoints, désolé.
Définition d'un semi-anneau. De ce que je sache, on utilise plus souvent (3') que (3) dans la définition.
Les semi-anneaux interviennent dans le théorème d'extension des mesures de Carathéodory (vite dit, toute mesure sur un semi-anneau se prolonge à une mesure sur la tribu engendrée par ce semi-anneau). C'est avec ça qu'on construit les mesures de Lebesgue-Stieltjes.
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Bonjour!
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