Tribu engendrée par les fonctions continues
Bonjour,
Soient $X$ un espace topologique et $\mathcal{B}_X$ sa tribu borélienne. Est-il vrai que $\mathcal{B}_X$ est engendrée par les fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles ? Je sais le démontrer pour $X$ métrique, mais quid du cas général ?
Soient $X$ un espace topologique et $\mathcal{B}_X$ sa tribu borélienne. Est-il vrai que $\mathcal{B}_X$ est engendrée par les fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles ? Je sais le démontrer pour $X$ métrique, mais quid du cas général ?
Réponses
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Bonjour,
Encore une fois, la longue droite montre que c'est faux en général (s'inspirer de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2006954,2007012#msg-2007012). -
Ok merci, ça ne m'étonne pas. Est-ce que la droite de Sorgenfrey fournit aussi un contre-exemple ?
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Et sinon, est-il vrai que $\mathcal{B}_X$ est engendrée par les fonctions continues à support compact lorsque $X$ est localement compact ? J'ai l'impression que ce fait est utilisé dans des livres mais sans qu'on l'énonce explicitement. Pour $X$ localement compact métrique, je crois que c'est démontré dans le livre de Hirsch et Lacombe.
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Non, pour la droite de Sorgenfrey ça marche parce qu'on peut obtenir les $[a,b[$, puis le reste de la topologie (la droite de Sorgenfrey est fortement de Lindelöf) et enfin les boréliens.
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http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2016526,2016622#msg-2016622
Qu'est-ce qu'elle dit la longue droite ? 8-) -
Déso, j'ai pas encore regardé tes liens. Oui j'ai oublié la condition de séparabilité je crois.
Je viens de voir que la tribu en question s'appelle la tribu de Baire.
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Bonjour!
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