Tribu engendrée par les fonctions continues

Saturne · May 2020

Bonjour,

Soient $X$ un espace topologique et $\mathcal{B}_X$ sa tribu borélienne. Est-il vrai que $\mathcal{B}_X$ est engendrée par les fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles ? Je sais le démontrer pour $X$ métrique, mais quid du cas général ?

Calli · May 2020

Bonjour,
Encore une fois, la longue droite montre que c'est faux en général (s'inspirer de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2006954,2007012#msg-2007012).

Saturne · May 2020

Ok merci, ça ne m'étonne pas. Est-ce que la droite de Sorgenfrey fournit aussi un contre-exemple ?

Saturne · May 2020

Et sinon, est-il vrai que $\mathcal{B}_X$ est engendrée par les fonctions continues à support compact lorsque $X$ est localement compact ? J'ai l'impression que ce fait est utilisé dans des livres mais sans qu'on l'énonce explicitement. Pour $X$ localement compact métrique, je crois que c'est démontré dans le livre de Hirsch et Lacombe.

Calli · May 2020

Non, pour la droite de Sorgenfrey ça marche parce qu'on peut obtenir les $[a,b[$, puis le reste de la topologie (la droite de Sorgenfrey est fortement de Lindelöf) et enfin les boréliens.

Calli · May 2020

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2016526,2016622#msg-2016622
Qu'est-ce qu'elle dit la longue droite ? 8-)

Saturne · May 2020

Déso, j'ai pas encore regardé tes liens. Oui j'ai oublié la condition de séparabilité je crois.
Je viens de voir que la tribu en question s'appelle la tribu de Baire.

Tribu engendrée par les fonctions continues

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