Mesurabilité de l'ensemble {f=g}

Saturne · May 2020

Bonjour,

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un même espace mesurable et à valeurs dans un même espace métrique séparable.
Si $f$ et $g$ sont mesurables, est-il vrai que $\{x \mid f(x) = g(x)\}$ est mesurable ?

Poirot · May 2020

Il s'agit de $h^{-1}(\{0\})$ où $h = f-g$. Si $(x,y) \mapsto x-y$ est mesurable alors la réponse à ta question est oui. Ça va dépendre des tribus au départ et à l'arrivée.

EDIT : encore faut-il que $f-g$ ait un sens.

Calli · May 2020

Bonjour,
Poirot, $f$ et $g$ sont à valeurs dans un espace métrique, pas un evn. Mais la réponse est quand même oui. Soient $E$ l'espace métrique, $f\times g: x\mapsto (f(x),g(x))$ et $\Delta = \{(z,z)\mid z\in E\}$. Alors $f\times g$ est mesurable pour la tribu produit de $E^2$, $\Delta$ est fermée dans $E^2$ donc mesurable et enfin $\{x \mid f(x) = g(x)\} = (f\times g)^{-1}(\Delta)$.

marco · May 2020

Est-ce qu'on peut considérer $h$ telle que, pour tout $x$ de l'espace de départ, $h(x)=d(f(x),g(x))$ ? En effet, la distance $d$ sur l'espace d'arrivée est continue, donc $h$ est la composition de $x \mapsto (f(x),g(x))$ et de $(x,y) \mapsto d(x,y)$ qui sont des fonctions toutes les deux mesurables, donc $h$ est mesurable. Donc l'ensemble cherché est $h^{-1}(\{0\})$.

Calli · May 2020

Oui marco :-). Ton argument est même plus simple que le mien dans le cas d'un espace métrique ; moi j'ai donné l'argument pour $E$ un espace topologique séparé [édit] fortement de Lindelöf en fait.

Poirot · May 2020

marco a formalisé mon idée fausse. ;-)

aléa · May 2020

De toutes façons, tout espace métrique se plonge isométriquement dans un evn, donc tu as raison quand même :-D

Saturne · May 2020

Merci. Je n'ai pas encore regardé les détails.

@marco : la distance est continue pour la topo produit, et il faut la séparabilité pour garantir que la tribu produit coïncide avec la tribu borélienne de la topo produit. Il faut donc la séparabilité pour que ton argument marche. Non ?

Saturne · May 2020

@Calli: même remarque, non ?

Calli · May 2020

Ah oui, c'est bien possible. Je n'y avais pas pensé. On a toujours ${\cal B}(E) \otimes {\cal B}(E)\subset {\cal B}(E^2)$, mais je suppose que l'inclusion est parfois stricte.

Saturne · May 2020

Ouaip. En fait il suffit qu'il existe une base dénombrable pour qu'il y ait égalité, c'est moins restrictif que métrique séparable. Donc plus généralement, en utilisant ton argument, $\{f=g\}$ est mesurable pour un Hausdorff à base dénombrable, si je ne me trompe pas.