Fonctions boréliennes

Sachant que c'est vrai pour $E' = [0,1]$ quand $E$ est métrique, c'est aussi vrai pour $E'' = [0,1]^\mathbb{N}$. Tout espace métrique séparable se plonge dans ce $E'$, donc ça m'a l'air ok pour $E'$ métrique séparable.

J'ai une preuve, mais je ne trouve pas ça trivial, comme ils disent dans les livres.

Je note $\mathcal{B}(X,\mathbb{R})$ la plus petite classe de fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$ contenant les fonctions continues et stable par limites simples.

Pour $g \colon X \to \mathbb{R}$, soit $K(g)$ l'ensemble des fonctions réelles $f$ définies sur $X$ telles que $\alpha f + \beta g \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R})$ pour $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Si $g$ et $f$ sont continues, $f \in K(g)$. En outre, si $g$ est continue, $K(g)$ est stable par limites simples. Par conséquent, $\mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \subset K(g)$ pour toute fonction $g$ continue. Par ailleurs, $f \in K(g)$ implique $g \in K(f)$. Ainsi l'inclusion $\mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \subset K(g)$ pour $g \in C(X)$ implique que $C(X) \in K(f)$ pour $f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R})$. Mais $K(f)$ est stables par limites simples pour $f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R})$, donc $\mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \subset K(f)$.