Limite d'une suite à l'infini
Bonjour, j'ai une question par rapport à la question 5)b) d'un exercice et en particulier pour déterminer la limite de Wn quand n tend vers +oo.
Car j'ai trouvé que Wn=1-exp(-1-1/E(Mn)), mais c'est le fait de trouver la limite de E(Mn) qui me pose problème car je ne vois pas bien quelle est la limite de E(Mn) en raison de sa forme, à cause du fait que son dénominateur est une somme sur k.
Comment puis-je connaître la limite de E(Mn) quand n tend vers +oo ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Car j'ai trouvé que Wn=1-exp(-1-1/E(Mn)), mais c'est le fait de trouver la limite de E(Mn) qui me pose problème car je ne vois pas bien quelle est la limite de E(Mn) en raison de sa forme, à cause du fait que son dénominateur est une somme sur k.
Comment puis-je connaître la limite de E(Mn) quand n tend vers +oo ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ce dénominateur s'appelle le nième nombre harmonique et se note $H_n$:
on montre facilement que $\int _1^{n+1}\frac {1}{t}dt \leq H_n\leq 1+\int _1^{n}\frac {1}{t}dt$
Cordialement.
Sinon, pour la limite, la plupart des cours sur les séries commencent par démontrer que la série harmonique diverge vers $+\infty$ (exemple de base se série divergente dont le terme général tend vers 0).
Cordialement.
La clé de la question c'est que si $f$ est une fonction réelle décroissante sur un intervalle $I$, si $k \in I$ et si $k+1 \in I$ , alors :
$\displaystyle f(k+1)\leq \int_{k}^{k+1}f(t)dt\leq f(k)$.
On le voit sur la figure : trapèze mixtiligne coincé entre deux rectangles, et ça se démontre, nous ne sommes pas dans les mathématiques exotiques archaïques prenant monstration pour démonstration. Ça se démontre sans mal.
Supposons la fonction réelle $f$ décroissante sur un intervalle $[a,+\infty \lbrack $ avec $a\in \mathbb{N}$, soit pour $n\in \mathbb{N}$, $n \ge a$ :
$ \displaystyle S_{n}=\underset{k=a}{\overset{n}{\sum }}f(k)$ et $\displaystyle J_{n}=\int_{a}^{n}f(t)dt$. Alors par sommation de la double inégalité précédente, il vient : $S_{n}-f(a)\leq J_{n}\leq S_{n}-f(n)$.
Si de plus $f$ est positive, il en résulte : $S_{n}=J_{n}+C+o(1)$ quand $n\rightarrow +\infty $, où $C$ est une constante réelle.
Ici $a=1$, et $f(x)= \frac 1x$, et alors $\displaystyle S_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }} \frac1k =H_n$, et $J_n=\ln n$, et $C=\gamma$, constante d'Euler (ou d'Euler-Mascheroni pour notre sœur latine).
Bonne nuit.
Fr. Ch.
30/05/2020
mais nous on voulait simplement trouver l'inégalité de Said Fubini : intégrale de 1 à (n+1) de t inférieure ou égal à Hn inférieur ou égal à 1+intégrale de 1 à n de t, simplement pour pouvoir prouver vers quoi Hn tend.
Le théorème que j'ai énoncé et démontré est très simple, il convient pour la comparaison série-intégrale, mais il peut s'énoncer et se démontrer sans référence à la notion de série. C'est le théorème suivant.
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $[a,+\infty \lbrack $ avec $a\in \mathbb{N}$, à valeurs réelles, décroissante et positive, et soit pour $n\in \mathbb{N}$, $n \ge a$ : $ \displaystyle S_{n}=\underset{k=a}{\overset{n}{\sum }}f(k)$ et $\displaystyle J_{n}=\int_{a}^{n}f(t)dt$. Alors : $S_{n}=J_{n}+C+o(1)$ quand $n\rightarrow +\infty $, où $C$ est une constante réelle.
J'ai indiqué la démonstration, j'ai seulement laissé le lecteur trouver lui-même que la suite $\delta_n=S_n-J_n$ est décroissante et positive, ce qui découle de la double inégalité donnée précédemment.
Ceci ne demande pas plus que le bagage mathématique d'ECE - 2020, peut-être même de Terminale.
Si l'on dispose d'une théorie de l'intégration qui intègre les fonctions monotones, alors ce théorème s'énonce tout cru comme ci-dessus, mais dans le cas contraire, on impose à $f$ une hypothèse complémentaire qui donne uns sens à son intégrale $J_n$, comme « continue » ou « continue par morceaux », c'est dommage mais pour les applications, ce n'est pas grave.
Du point de vue méthodologique-heuristique, je signale qu'il est bon de garder en mémoire la figure que j'ai jointe (même moche), avec son trapèze mixtiligne coincé entre deux rectangles, qui peut se révéler utile même pour une fonction croissante, pour donner un encadrement, en vue de la sommation ultérieure.
Pour en revenir à la question posée, ceci prouve que $H_{n}= \ln n+ \gamma+o(1)$ quand $n\rightarrow +\infty $, ce qui répond, me semble-t-il, et avec plus de précision.
Bonne journée.
Fr. Ch.
01/06/2020
(Lundi de Pentecôte)