Brownien et différentielle
Bonjour
Je suis un peu perdu, je ne sais plus faire la différentielle d'une fonction... Le problème est le suivant.
Soient $B$ un mouvement brownien, $\lambda \in \mathbb{R} $, $f$ continue par morceaux sur $\mathbb{R}+$. Posons $$
X_t^\lambda = \exp(i \lambda \int_0^t f(s) dB_s) .
$$ Je cherche à calculer $dX_t^\lambda $ (en fonction de $dt$ et $dB_t$), cependant, j'ai des difficultés à calculer mes dérivées partielles à cause de l'intégrale stochastique.
Pourriez-vous m'aider à comprendre comment effectuer ce calcul ?
Merci d'avance.
Je suis un peu perdu, je ne sais plus faire la différentielle d'une fonction... Le problème est le suivant.
Soient $B$ un mouvement brownien, $\lambda \in \mathbb{R} $, $f$ continue par morceaux sur $\mathbb{R}+$. Posons $$
X_t^\lambda = \exp(i \lambda \int_0^t f(s) dB_s) .
$$ Je cherche à calculer $dX_t^\lambda $ (en fonction de $dt$ et $dB_t$), cependant, j'ai des difficultés à calculer mes dérivées partielles à cause de l'intégrale stochastique.
Pourriez-vous m'aider à comprendre comment effectuer ce calcul ?
Merci d'avance.
Réponses
-
On pose $M_t := \displaystyle \int_0^t f(s) \,\mathrm{d}B_s$ qui est une martingale locale et $g: x \mapsto \exp(i\lambda x)$ qui est $C^2$.
Alors $\mathrm{d}X_t^{\lambda} = \mathrm{d}g(M_t) = g'(M_t)\mathrm{d}Mt + \frac12 g''(M_t) \mathrm{d}\langle M\rangle_t = i\lambda g(M_t)f(t)\mathrm{d}B_t + \frac12 (i\lambda)^2 g(M_t) f(t)^2 \mathrm{d}t$ -
Merci sevaus ton message m'a beaucoup aidé.
Tu utilises la formule d'Ito pour le processus $M_t$ si j'ai bien compris. (c'est ça ?)
Avec $d\langle M\rangle_t = f(s)^2 dt $.
Si je puis me permettre une question supplémentaire, pourquoi une telle notation ?
Merci encore. -
Oui c'est bien cela, la formule d'Itô s'applique aux semi-martingales continues.
Si tu n'as pas vu le crochet, c'est que l'on a du t'énoncer la formule d'Itô uniquement pour les processus d'Itô ie pour les processus $X$ s'écrivant
$X_t = X_0 + \displaystyle \int_0^t b_s \mathrm{d}s + \int_0^t H_s \mathrm{d}B_s$
où $H$ vérifie certaines conditions d'intégrabilité.
La formule d'Itô que j'ai utilisée est la plus générale. -
sevaus
C'est bien comme cela que la formule d'Itô m'a été définie. Je vais essayer de trouver la généralisation que tu utilises. Encore merci pour ton aide.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Brigate, tu peux utiliser ta version plus faible car $M_t$ est une martingale ici.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 6
+4 Invités