Convergences de v.a.r.

Féfé
Féfé
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
J’espère que vous vous portez bien, je bloque sur un exercice de probas, merci de prendre le temps de me lire :)

Soit $X \in L^1(\Omega,F,P)$ une variable aléatoire à valeurs réelles et admettant une densité notée $f$.
Pour $n \in \N$ on pose $Y_n=\frac{|2^nX|}{2^n}$ où $|\cdot|$ désigne la partie entière et on pose $F_n=\sigma(Y_0,\ldots,Y_n)$ la filtration canonique du processus $(Y_n)_n$
1) Montrer que $F_n=\sigma(Y_n)$
2) Calculer $ X_n:=E[X\mid F_n]$
3) Montrer que $(X_n)_n $ converge ps et dans $L^1$.

Voici l'énoncé, pour l'instant je n'ai que réussi (merci poirot !) par récurrence la 1, en montrant que $\sigma(Y_n, Y_{n+1})=\sigma(Y_{n+1})$ pour tout entier $n$.

Pour la 2) je pense que je devrais utiliser la formule de conditionnement discret car $Y$ est à valeurs dans un ensemble dénombrable mais je bloque assez vite...
Merci pour votre aide ! :)

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    C'est quoi, des "converges" ? Mon dictionnaire connaît le verbe converger, le nom convergence, mais pas de nom "converge".
    D'autre part, j'ai déjà vu ce sujet sur le forum. Très récemment.

    Cordialement.
  • Calli
    Calli
    Salut,
    2) Il faut effectivement utiliser la formule de conditionnement discret. Peux-tu rappeler cette formule stp ? Ensuite, utilise le fait que $X$ possède une densité pour calculer les facteurs de cette formule.

    3) As-tu fait un cours sur les martingales ? Si oui, alors cette question découle d'un théorème du cours. Sinon, ça n'est pas très grave ; on peut s'en sortir ici sans ledit théorème (ce serait d'ailleurs instructif de le faire de toute façon à la main, je pense).

    Pour écrire la partie entière, tu peux taper \lfloor x \rfloor qui donne $\lfloor x \rfloor$. Ce sera mieux que de mettre des valeurs absolues.
  • Féfé
    Féfé
    On a donc $$Y : \Omega \rightarrow E \\
    X : \Omega \rightarrow \R$$ où $E$ est dénombrable.
    Soit $ n \in \N$.
    Soit $y \in E$ tel que $P(Y=y)>0$.
    $E(X\mid Y_n)=E(X\mid Y_n=y)= \dfrac{E(X 1_{Y_n=y})}{P(Y_n=y)}$
    Comme $P(Y_n=y)=P(y \leq X <y+ \frac{1}{2^n} ) = \int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}{fdP}$.
    Le problème est que je trouve la même chose au dénominateur par le théorème de transfert... donc $X_n=1$ pour tout $n$.
  • Calli
    Calli
    Ok pour $\Bbb E(X\mid Y_n=y)= \dfrac{\Bbb E(X\, \mathbf1_{Y_n=y})}{\Bbb P(Y_n=y)}$. Mais écrire $\Bbb E(X\mid Y_n)=\Bbb E(X \mid Y_n=y)$ n'a pas vraiment de sens car à gauche on a une v.a. alors qu'à droite on a un nombre. A la limite, on peut écrire que $\forall \omega\in\Omega, \Bbb E(X\mid Y_n)(\omega) =\Bbb E(X\mid Y_n=Y_n(\omega))$.

    Ensuite, d'accord pour $\Bbb P(Y_n=y)=\Bbb P(y \leqslant X <y+ \frac{1}{2^n} )$ (à condition que $y$ soit de la forme $\frac{k}{2^n}$), mais le $\displaystyle \int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}f\,{\rm d} \Bbb P$ est suspect. Sur quels ensembles sont définis $f$ et $\Bbb P$ ? Peut-on intégrer $f$ par rapport à la mesure $\Bbb P$ ?
  • Féfé
    Féfé
    Ah oui mon égalité n'avait pas grand sens, et Oui non pardon f est la densité donc définit sur R donc on intègre par rapport à la mesure de Lebesgue pas la proba P qui est définit sur $(\Omega, F)$ on a donc $ \int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}f(x)dx $
  • Calli
    Calli
    Voilà.
    Maintenant, il faut calculer $\Bbb E(X\, \mathbf1_{Y_n=y})$. Et on ne doit pas trouver la même chose que $\Bbb P(Y_n=y)$.
  • Calli
    Calli
    J'ai corrigé une coquille dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1990082,1990540#msg-1990540. J'avais écrit $Y(\omega)$ à la place $Y_n(\omega)$.
  • Féfé
    Féfé
    J'ai peur de ne pas très bien comprendre, pour moi $\mathbf1_{Y_n=y}=\mathbf1_{y \leq X < y+1}$

    Donc $$\Bbb E(X\,\mathbf1_{Y_n=y})= \Bbb E(X\,\mathbf1_{y \leq X < y+1})=\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}xf(x)dx $$
  • Calli
    Calli
    C'est plutôt $\mathbf 1_{y\leqslant X<y+\color{red}{2^{-n}}}$, mais sinon c'est ça.
  • Féfé
    Féfé
    Oui pardon pour cette coquille, mais du coup je me demandais si je pouvais continuer a simplifier ou si c'est bon $$E(X|F_n)=\frac{\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}xf(x)dx}{\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}f(x)dx}$$
  • Calli
    Calli
    On ne peut pas plus simplifier.
    En revanche, on ne peut pas mettre une égalité avec $\Bbb E(X\mid F_n)$ (qui est une v.a.) et laisser un $y$ mal défini comme ça. Fais plus attention à la nature des objets que tu écris. Pour l'instant le $y$ était juste une variable de calcul. Que vaut-il en réalité ? Il faut que ce soit une fonction de $ \omega\in\Omega$ pour que les deux membres de l'égalité finale aient même nature (des v.a.). En fait, on a déjà dit indirectement ce que vaut $y$.

    Ensuite, tu pourras attaquer la dernière question.
  • Féfé
    Féfé
    Oui désolé j'ai du mal avec l’espérance conditionnelle, c'est bien une fonction mesurable et plus un réel, on a donc $$
    E(X\mid F_n)(w)=\frac{\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}xf(x)dx }{\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}f(x)dx},
    $$ dès que $(Y_n(w))=y$.
    En particulier quand $n$ tends vers $\infty$, on a $E(X\mid F_n)=1$

    De plus $(X_n)$ est une martingale par croissance de la filtration (on ne garde que le conditionnement par rapport à la tribu la moins fine).
  • Féfé
    Féfé
    En tout cas merci beaucoup Calli pour ton innefable aide :)
  • Féfé
    Féfé
    J'ai réussi a montrer la cv ps et dans L1 car la martingale est fermée
  • Calli
    Calli
    De rien.
    De façon plus compacte, on peut écrire $$\Bbb E(X\mid F_n)=\frac{\int_{Y_n}^{Y_n+\frac{1}{2^n}}xf(x)\,{\rm d}x }{\int_{Y_n}^{Y_n+\frac{1}{2^n}}f(x)\,{\rm d}x}.$$
  • Calli
    Calli
    Féfé a écrit:
    En particulier quand $n$ tends vers $\infty$, on a $E(X\mid F_n)=1$.

    Non. Déjà écrire "quand $n \to\infty$ on a [une égalité]" c'est une erreur de débutant : soit on a l'égalité à partir d'un certain rang, soit on a une limite ; mais, dit comme ça, ça ne veut rien dire. Et puis $\Bbb E(X\mid F_n)$ ne converge pas vers 1. Quelle est sa limite ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 28

Matricule_63NicoLeProfPhilippe MalotVassilliabiguine_equationkolotokopozzarsamok +20 Invités