Convergences de v.a.r.
Bonjour
J’espère que vous vous portez bien, je bloque sur un exercice de probas, merci de prendre le temps de me lire
Soit $X \in L^1(\Omega,F,P)$ une variable aléatoire à valeurs réelles et admettant une densité notée $f$.
Pour $n \in \N$ on pose $Y_n=\frac{|2^nX|}{2^n}$ où $|\cdot|$ désigne la partie entière et on pose $F_n=\sigma(Y_0,\ldots,Y_n)$ la filtration canonique du processus $(Y_n)_n$
1) Montrer que $F_n=\sigma(Y_n)$
2) Calculer $ X_n:=E[X\mid F_n]$
3) Montrer que $(X_n)_n $ converge ps et dans $L^1$.
Voici l'énoncé, pour l'instant je n'ai que réussi (merci poirot !) par récurrence la 1, en montrant que $\sigma(Y_n, Y_{n+1})=\sigma(Y_{n+1})$ pour tout entier $n$.
Pour la 2) je pense que je devrais utiliser la formule de conditionnement discret car $Y$ est à valeurs dans un ensemble dénombrable mais je bloque assez vite...
Merci pour votre aide !
J’espère que vous vous portez bien, je bloque sur un exercice de probas, merci de prendre le temps de me lire
Soit $X \in L^1(\Omega,F,P)$ une variable aléatoire à valeurs réelles et admettant une densité notée $f$.
Pour $n \in \N$ on pose $Y_n=\frac{|2^nX|}{2^n}$ où $|\cdot|$ désigne la partie entière et on pose $F_n=\sigma(Y_0,\ldots,Y_n)$ la filtration canonique du processus $(Y_n)_n$
1) Montrer que $F_n=\sigma(Y_n)$
2) Calculer $ X_n:=E[X\mid F_n]$
3) Montrer que $(X_n)_n $ converge ps et dans $L^1$.
Voici l'énoncé, pour l'instant je n'ai que réussi (merci poirot !) par récurrence la 1, en montrant que $\sigma(Y_n, Y_{n+1})=\sigma(Y_{n+1})$ pour tout entier $n$.
Pour la 2) je pense que je devrais utiliser la formule de conditionnement discret car $Y$ est à valeurs dans un ensemble dénombrable mais je bloque assez vite...
Merci pour votre aide !
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Réponses
C'est quoi, des "converges" ? Mon dictionnaire connaît le verbe converger, le nom convergence, mais pas de nom "converge".
D'autre part, j'ai déjà vu ce sujet sur le forum. Très récemment.
Cordialement.
2) Il faut effectivement utiliser la formule de conditionnement discret. Peux-tu rappeler cette formule stp ? Ensuite, utilise le fait que $X$ possède une densité pour calculer les facteurs de cette formule.
3) As-tu fait un cours sur les martingales ? Si oui, alors cette question découle d'un théorème du cours. Sinon, ça n'est pas très grave ; on peut s'en sortir ici sans ledit théorème (ce serait d'ailleurs instructif de le faire de toute façon à la main, je pense).
Pour écrire la partie entière, tu peux taper \lfloor x \rfloor qui donne $\lfloor x \rfloor$. Ce sera mieux que de mettre des valeurs absolues.
X : \Omega \rightarrow \R$$ où $E$ est dénombrable.
Soit $ n \in \N$.
Soit $y \in E$ tel que $P(Y=y)>0$.
$E(X\mid Y_n)=E(X\mid Y_n=y)= \dfrac{E(X 1_{Y_n=y})}{P(Y_n=y)}$
Comme $P(Y_n=y)=P(y \leq X <y+ \frac{1}{2^n} ) = \int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}{fdP}$.
Le problème est que je trouve la même chose au dénominateur par le théorème de transfert... donc $X_n=1$ pour tout $n$.
Ensuite, d'accord pour $\Bbb P(Y_n=y)=\Bbb P(y \leqslant X <y+ \frac{1}{2^n} )$ (à condition que $y$ soit de la forme $\frac{k}{2^n}$), mais le $\displaystyle \int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}f\,{\rm d} \Bbb P$ est suspect. Sur quels ensembles sont définis $f$ et $\Bbb P$ ? Peut-on intégrer $f$ par rapport à la mesure $\Bbb P$ ?
Maintenant, il faut calculer $\Bbb E(X\, \mathbf1_{Y_n=y})$. Et on ne doit pas trouver la même chose que $\Bbb P(Y_n=y)$.
Donc $$\Bbb E(X\,\mathbf1_{Y_n=y})= \Bbb E(X\,\mathbf1_{y \leq X < y+1})=\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}xf(x)dx $$
En revanche, on ne peut pas mettre une égalité avec $\Bbb E(X\mid F_n)$ (qui est une v.a.) et laisser un $y$ mal défini comme ça. Fais plus attention à la nature des objets que tu écris. Pour l'instant le $y$ était juste une variable de calcul. Que vaut-il en réalité ? Il faut que ce soit une fonction de $ \omega\in\Omega$ pour que les deux membres de l'égalité finale aient même nature (des v.a.). En fait, on a déjà dit indirectement ce que vaut $y$.
Ensuite, tu pourras attaquer la dernière question.
E(X\mid F_n)(w)=\frac{\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}xf(x)dx }{\int_{y}^{y+\frac{1}{2^n}}f(x)dx},
$$ dès que $(Y_n(w))=y$.
En particulier quand $n$ tends vers $\infty$, on a $E(X\mid F_n)=1$
De plus $(X_n)$ est une martingale par croissance de la filtration (on ne garde que le conditionnement par rapport à la tribu la moins fine).
De façon plus compacte, on peut écrire $$\Bbb E(X\mid F_n)=\frac{\int_{Y_n}^{Y_n+\frac{1}{2^n}}xf(x)\,{\rm d}x }{\int_{Y_n}^{Y_n+\frac{1}{2^n}}f(x)\,{\rm d}x}.$$
Non. Déjà écrire "quand $n \to\infty$ on a [une égalité]" c'est une erreur de débutant : soit on a l'égalité à partir d'un certain rang, soit on a une limite ; mais, dit comme ça, ça ne veut rien dire. Et puis $\Bbb E(X\mid F_n)$ ne converge pas vers 1. Quelle est sa limite ?